1. В таблице, представлено производство автомобилей на некотором автозаводе по годам. Составьте таблицу изменения производства автомобилей по сравнению с 2000 г. в процентах. 1. На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город 3? 1. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос. 2. На клавиатуре телефона 10 цифр (от 0 до 9). Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Задание 1. Производство автомобилей

Для расчета изменения производства в процентах по сравнению с 2000 годом, используем формулу:

\( \text{Изменение (\\%) = } \frac{\text{Текущий год} - \text{Базовый год}}{\text{Базовый год}} \times 100 \)

Таблица изменения производства автомобилей (по сравнению с 2000 г.)

Задание 2. Пути из города А в город 3

Для решения задачи нам нужно посчитать все возможные пути из города А в город 3, следуя направлению стрелок.

Давайте проследим пути:

1. A → Б → Д → Е → 3
2. A → Б → Д → 3
3. A → Б → Е → 3
4. A → Б → 3
5. A → Г → Ж → 3
6. A → Г → 3

Есть также пути через В, но они ведут не к 3 напрямую:

1. A → Б → В → Г → Ж → 3
2. A → Б → В → Г → 3
3. A → Б → В → Е → 3
4. A → Б → В → 3
5. A → Г → В → Б → Д → Е → 3
6. A → Г → В → Б → Д → 3
7. A → Г → В → Б → Е → 3
8. A → Г → В → Б → 3
9. A → Г → В → Е → 3
10. A → Г → В → 3

Пересчитаем более системно, двигаясь от А:

Из А можно попасть в Б и Г.

Пути через Б:

• A → Б → Д → Е → 3
• A → Б → Д → 3
• A → Б → Е → 3
• A → Б → 3
• A → Б → В → Д → Е → 3
• A → Б → В → Д → 3
• A → Б → В → Е → 3
• A → Б → В → 3

Пути через Г:

• A → Г → Ж → 3
• A → Г → 3
• A → Г → В → Д → Е → 3
• A → Г → В → Д → 3
• A → Г → В → Е → 3
• A → Г → В → 3
• A → Г → В → Б → Д → Е → 3
• A → Г → В → Б → Д → 3
• A → Г → В → Б → Е → 3
• A → Г → В → Б → 3

Давай посчитаем число путей до каждого города, начиная с А:

• А: 1
• Б: 1 (из А)
• Г: 1 (из А)
• В: 2 (из Б и из Г)
• Д: 2 (из Б и из В)
• Е: 3 (из Д, из В, из Б)
• Ж: 1 (из Г)
• 3: ?

Пути до 3:

• Через Е: 3 пути до Е * 1 (Е → 3) = 3 пути
• Через Ж: 1 путь до Ж * 1 (Ж → 3) = 1 путь
• Через Д (без Е): A→Б→Д→3 (1 путь), A→Г→В→Д→3 (1 путь) = 2 пути
• Через В (без Д, Е, Ж): A→Б→В→3 (1 путь), A→Г→В→3 (1 путь) = 2 пути
• Прямые пути из Б в 3: A→Б→3 (1 путь)
• Прямые пути из Г в 3: A→Г→3 (1 путь)

Пересчитаем, фокусируясь на том, сколько путей ведет в каждый город:

• A: 1
• Б: 1 (из А)
• Г: 1 (из А)
• В: 2 (из Б + из Г)
• Д: 2 (из Б + из В)
• Е: 3 (из Д + из В + из Б)
• Ж: 1 (из Г)
• 3: 1 (из Е) + 1 (из Ж) + 2 (из Д) + 2 (из В) + 1 (из Б) + 1 (из Г) = 8 путей.

Давайте проверим еще раз, прописывая все пути:

1. A → Б → Д → Е → 3
2. A → Б → Д → 3
3. A → Б → Е → 3
4. A → Б → 3
5. A → Г → Ж → 3
6. A → Г → 3
7. A → Б → В → Д → Е → 3
8. A → Б → В → Д → 3
9. A → Б → В → Е → 3
10. A → Б → В → 3
11. A → Г → В → Д → Е → 3
12. A → Г → В → Д → 3
13. A → Г → В → Е → 3
14. A → Г → В → 3
15. A → Г → В → Б → Д → Е → 3
16. A → Г → В → Б → Д → 3
17. A → Г → В → Б → Е → 3
18. A → Г → В → Б → 3

Кажется, я запутался в предыдущем подсчете. Давай попробуем методом подсчета входящих путей:

• A: 1
• Б: 1 (из А)
• Г: 1 (из А)
• В: 2 (из А→Б→В и А→Г→В)
• Д: 2 (из А→Б→Д и А→Г→В→Д)
• Е: 3 (из А→Б→Д→Е, А→Г→В→Д→Е, А→Б→В→Е)
• Ж: 1 (из А→Г→Ж)
• 3: 1 (из А→Б→Д→Е→3) + 1 (из А→Б→Д→3) + 1 (из А→Б→Е→3) + 1 (из А→Б→3) + 1 (из А→Г→Ж→3) + 1 (из А→Г→3) + 1 (из А→Б→В→Д→Е→3) + 1 (из А→Б→В→Д→3) + 1 (из А→Б→В→Е→3) + 1 (из А→Б→В→3) + 1 (из А→Г→В→Д→Е→3) + 1 (из А→Г→В→Д→3) + 1 (из А→Г→В→Е→3) + 1 (из А→Г→В→3) + 1 (из А→Г→В→Б→Д→Е→3) + 1 (из А→Г→В→Б→Д→3) + 1 (из А→Г→В→Б→Е→3) + 1 (из А→Г→В→Б→3) = 18 путей.

Давайте решим задачу, подсчитывая количество путей до каждого узла:

•A: 1 путь

•Б: 1 путь (из А)

•Г: 1 путь (из А)

•В: 2 пути (из Б + из Г)

•Д: 2 пути (из Б + из В)

•Е: 3 пути (из Д + из В + из Б)

•Ж: 1 путь (из Г)

•3: (пути из Е) + (пути из Ж) + (пути из Д) + (пути из В) + (пути из Б) + (пути из Г)

Считаем пути, которые ведут в 3:

1. A → Б → Д → Е → 3

2. A → Б → Д → 3

3. A → Б → Е → 3

4. A → Б → 3

5. A → Г → Ж → 3

6. A → Г → 3

7. A → Б → В → Д → Е → 3

8. A → Б → В → Д → 3

9. A → Б → В → Е → 3

10. A → Б → В → 3

11. A → Г → В → Д → Е → 3

12. A → Г → В → Д → 3

13. A → Г → В → Е → 3

14. A → Г → В → 3

15. A → Г → В → Б → Д → Е → 3

16. A → Г → В → Б → Д → 3

17. A → Г → В → Б → Е → 3

18. A → Г → В → Б → 3

Ответ: 18

Задание 3. Вероятность выученного вопроса

Дано:

• Всего вопросов на экзамене: 60.
• Невыученных вопросов: 3.

Найти: Вероятность того, что попадется выученный вопрос.

Решение:

1. Сначала найдем количество выученных вопросов:

\( \text{Выученные вопросы} = \text{Всего вопросов} - \text{Невыученные вопросы} \)

\( \text{Выученные вопросы} = 60 - 3 = 57 \)

2. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

\( P(\text{выученный вопрос}) = \frac{\text{Число выученных вопросов}}{\text{Всего вопросов}} \)

\( P(\text{выученный вопрос}) = \frac{57}{60} \)

3. Сократим дробь:

\( \frac{57}{60} = \frac{19 \times 3}{20 \times 3} = \frac{19}{20} \)

4. Переведем в десятичную дробь:

\( \frac{19}{20} = 0.95 \)

Ответ: 0.95

Задание 4. Вероятность четной цифры

Дано:

• Всего цифр на клавиатуре телефона: 10 (от 0 до 9).

Найти: Вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной.

Решение:

1. Перечислим все возможные исходы (цифры): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего 10 исходов.
2. Перечислим четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Всего 5 четных цифр.
3. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

\( P(\text{четная цифра}) = \frac{\text{Число четных цифр}}{\text{Всего цифр}} \)

\( P(\text{четная цифра}) = \frac{5}{10} \)

5. Сократим дробь:

\( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

6. Переведем в десятичную дробь:

\( \frac{1}{2} = 0.5 \)

Ответ: 0.5