1. В течение некоторого промежутка времени в первом из двух последовательно соединённых проводников выделилось количество теплоты 60 Дж, а во втором проводнике — 120 Дж. а) Сопротивление какого проводника больше? Обоснуйте свой ответ. б) Чему равно отношение сопротивлений проводников? в) Чему будет равно выделившееся в обоих проводниках количество теплоты, если соединить их параллельно при условии, что напряжение на участке цепи останется прежним?

Решение:

Закон Джоуля-Ленца гласит, что количество теплоты, выделяемое проводником, прямо пропорционально сопротивлению проводника, силе тока и времени: \( Q = I^2Rt \) или, если ток не постоянен, \( Q = \frac{U^2}{R} t \).

В данном случае проводники соединены последовательно, значит, сила тока \( I \) и время \( t \) одинаковы для обоих проводников. Количество теплоты прямо пропорционально сопротивлению: \( Q \sim R \).

а) Сопротивление какого проводника больше?

По условию, во втором проводнике выделилось больше теплоты \( (Q_2 = 120 \text{ Дж}) \) чем в первом \( (Q_1 = 60 \text{ Дж}) \). Так как \( Q \sim R \) при одинаковых \( I \) и \( t \), то сопротивление второго проводника больше.

б) Чему равно отношение сопротивлений проводников?

Из соотношения \( Q = I^2Rt \) следует, что \( \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{I^2 R_2 t}{I^2 R_1 t} = \frac{R_2}{R_1} \).

Отношение сопротивлений: \( \frac{R_2}{R_1} = \frac{120 \text{ Дж}}{60 \text{ Дж}} = 2 \).

Ответ: Отношение сопротивлений проводников равно 2.

в) Чему будет равно выделившееся в обоих проводниках количество теплоты, если соединить их параллельно при условии, что напряжение на участке цепи останется прежним?

При параллельном соединении напряжение \( U \) одинаково для обоих проводников. Количество теплоты равно \( Q = \frac{U^2}{R} t \).

Пусть \( R_1 \) и \( R_2 \) — сопротивления проводников. Из пункта б) известно, что \( R_2 = 2R_1 \).

Найдем общее сопротивление при параллельном соединении: \( R_{parallel} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1 (2R_1)}{R_1 + 2R_1} = \frac{2R_1^2}{3R_1} = \frac{2}{3} R_1 \).

Количество теплоты, выделившееся в первом проводнике при последовательном соединении: \( Q_1 = I^2 R_1 t = 60 \text{ Дж} \).

Количество теплоты, выделившееся во втором проводнике при последовательном соединении: \( Q_2 = I^2 R_2 t = 120 \text{ Дж} \).

Общее количество теплоты при последовательном соединении: \( Q_{total, serial} = Q_1 + Q_2 = 60 + 120 = 180 \text{ Дж} \).

При последовательном соединении \( U_{serial} = I(R_1 + R_2) = I(R_1 + 2R_1) = 3IR_1 \). Так как \( Q_1 = I^2R_1t \), то \( I = \sqrt{\frac{Q_1}{R_1t}} \).

\( U_{serial} = 3 \sqrt{\frac{Q_1}{R_1t}} R_1 = 3 R_1 \sqrt{\frac{Q_1}{R_1t}} = 3 \sqrt{\frac{Q_1 R_1^2}{R_1t}} = 3 \sqrt{\frac{Q_1 R_1}{t}} \).

Теперь рассмотрим параллельное соединение при том же напряжении \( U = U_{serial} \) и том же времени \( t \).

Общее количество теплоты при параллельном соединении: \( Q_{total, parallel} = \frac{U^2}{R_{parallel}} t \).

Подставим \( U = U_{serial} \) и \( R_{parallel} = \frac{2}{3} R_1 \).

\[ Q_{total, parallel} = \frac{(3 \sqrt{\frac{Q_1 R_1}{t}})^2}{\frac{2}{3} R_1} t = \frac{9 \frac{Q_1 R_1}{t}}{\frac{2}{3} R_1} t = 9 \frac{Q_1 R_1}{t} \cdot \frac{3}{2 R_1} t = \frac{27}{2} Q_1 \]\]

Подставляя \( Q_1 = 60 \text{ Дж} \):

\[ Q_{total, parallel} = \frac{27}{2} \cdot 60 = 27 \cdot 30 = 810 \text{ Дж} \]\]

Ответ: Выделившееся количество теплоты составит 810 Дж.