1. В тетраэдре DABC DA = DC = 13, AC = 10, E — середина BC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку E параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения.

Построение. Обозначим через F и G точки пересечения плоскости с рёбрами BA и BD соответственно. Поскольку секущая плоскость параллельна ADC, треугольник FGE подобен ADC. Центр подобия — точка B; так как E — середина BC, коэффициент подобия равен 1/2. Поэтому F и G — середины BA и BD, а сечение — треугольник FGE.

Площадь. В треугольнике ADC высота к основанию AC делит его пополам: половина основания равна 5. Высота равна \(\sqrt{13^2-5^2}=12\), поэтому площадь ADC равна \(\frac12\cdot10\cdot12=60\) см². Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: \(S_{FGE}=60\cdot(1/2)^2=15\) см².

Ответ: площадь сечения равна 15 см².