1. В трапеции ABCD AD и BC — основания, AC и BD пересекаются в точке O, причём AO : OC = 3 : 1. Найдите, если возможно, такое число k, что: 1) \(\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{BC}\); 2) \(\overrightarrow{CO}=k\overrightarrow{AO}\).

1. Так как AD и BC — основания трапеции, соответствующие отрезки на диагонали пропорциональны основаниям: \(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AD}{BC}=3\). Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}\). Значит, \(k=3\).

2. Точки A, O, C лежат на одной прямой, причём \(AO:OC=3:1\). Векторы \(\overrightarrow{CO}\) и \(\overrightarrow{AO}\) направлены противоположно, а их длины относятся как \(1:3\). Поэтому \(\overrightarrow{CO}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AO}\), и \(k=-\dfrac{1}{3}\).

Ответ: 1) \(k=3\); 2) \(k=-\dfrac{1}{3}\).