1. В трапеции ABCD (BC ∥ AD) O — точка пересечения диагоналей. а) Докажите, что △BOC ∼ △DOA. б) Найдите BC, если AD = 12 см, BO : OD = 1 : 2.

а) Углы BOC и DOA — вертикальные, поэтому они равны. Так как BC ∥ AD, а AC — секущая, то ∠BCO = ∠DAO. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам; соответствие вершин: B ↔ D, O ↔ O, C ↔ A.

б) Из подобия следует пропорция соответствующих сторон: \(\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{DO}\). По условию \(\frac{BO}{DO}=\frac{1}{2}\), поэтому \(BC=12\cdot\frac{1}{2}=6\) см.

Ответ: а) △BOC ∼ △DOA; б) BC = 6 см.