1. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, а угол D равен 60°. № 495(б)

Будем считать, что параллельны основания AD и BC: при таком расположении условие согласуется с тем, что CD — боковая сторона. Если же подразумевалось AB ∥ CD, то условие противоречиво: из AC ⟂ CD следовало бы AC ⟂ AB, тогда как биссектриса угла A не может образовать прямой угол с AB и одновременно разделить угол между AB и AD поровну.

1. В прямоугольном треугольнике ACD: ∠C = 90°, ∠D = 60°, поэтому ∠CAD = 30°. Пусть CD = x. По свойству треугольника 30°–60°–90° получаем AD = 2x, AC = √3x.
2. Так как AC — биссектриса угла A, ∠BAC = ∠CAD = 30°. А поскольку AD ∥ BC, угол между AC и BC равен 60°. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, с углами 30°, 60° и 90°. Поэтому AB = (√3/2)AC = 3x/2, а BC = AC/2 = √3x/2.
3. Используем периметр: 35 = AD + CD + BC + AB = 2x + x + √3x/2 + 3x/2 = x(9 + √3)/2. Отсюда x = 70/(9 + √3).
4. Тогда AB = 3x/2 = 105/(9 + √3) = 35(9 − √3)/26 см.

Ответ: AB = 35(9 − √3)/26 см ≈ 9,78 см.