1. В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Стороны АВ, ВС и АС касаются окружности в точках М, N и К соответственно. Известно, что АМ=4см, BM=3см, СК=5см. Найдите периметр треугольника АВС. (Указание: отрезки касательных из одной вершины равны) 2. Дан угол АВС=60°. В этот угол вписана окружность радиусом 2 см. которая касается сторон угла в точках М и N. Найдите расстояние от вершины угла В до центра окружности. 3. В прямоугольный треугольник АВС (∠C=90°) вписана окружность. Катеты равны АС=5см, ВС=12см. Найдите радиус вписанной окружности. 4. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. Радиус окружности равен 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до стороны АВ. 5. Дан угол АВС. Постройте его биссектрису с помощью циркуля и линейки. (Перечислите шаги построения).

Задача 1. Периметр треугольника

Дано:

• Треугольник АВС, вписанная окружность с центром О.
• Точки касания: М на АВ, N на ВС, К на АС.
• \( AM = 4 \) см.
• \( BM = 3 \) см.
• \( CK = 5 \) см.

Найти: Периметр треугольника АВС.

Решение:

Известно, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Следовательно:

• \( AM = AK = 4 \) см.
• \( BM = BN = 3 \) см.
• \( CK = CN = 5 \) см.

Теперь найдём длины сторон треугольника:

• \( AB = AM + MB = 4 + 3 = 7 \) см.
• \( BC = BN + NC = 3 + 5 = 8 \) см.
• \( AC = AK + KC = 4 + 5 = 9 \) см.

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:

\[ P_{ABC} = AB + BC + AC \]

\[ P_{ABC} = 7 + 8 + 9 = 24 \] см.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 24 см.

Задача 2. Расстояние от вершины до центра окружности

Дано:

• Угол \( ABC = 60^° \).
• Вписанная окружность радиусом \( r = 2 \) см.
• Точки касания: М на АВ, N на ВС.
• Центр окружности — О.

Найти: Расстояние от вершины В до центра окружности \( BO \).

Решение:

Биссектриса угла делит его пополам. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

Рассмотрим треугольник \( BMO \). \( OM \) — радиус, проведённый в точку касания, значит \( OM \perp AB \), и \( \angle BMO = 90^° \).

Угол \( ° \).

Угол \( ° \).

В прямоугольном треугольнике \( BMO \):

\[ \tan(°) = \frac{OM}{BM} \]

Но нам нужно найти \( BO \), поэтому используем синус:

\[ \tan(°) = \frac{OM}{BO} \]

\[ \tan(30^°) = \frac{2}{BO} \]

Мы знаем, что \( \tan(30^°) = \frac{1}{°} \).

\[ \frac{1}{°} = \frac{2}{BO} \]

Отсюда выразим \( BO \):

\[ BO = 2 ° \] см.

Ответ: Расстояние от вершины В до центра окружности равно \( 2° \) см.

Задача 3. Радиус вписанной окружности

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС.
• \( ° \).
• Катет \( AC = 5 \) см.
• Катет \( BC = 12 \) см.

Найти: Радиус вписанной окружности \( r \).

Решение:

Сначала найдём гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]

\[ AB = ° = 13 \] см.

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза.

\[ r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 2 см.

Задача 4. Расстояние от центра окружности до стороны

Дано:

• Равносторонний треугольник АВС.
• Описанная окружность с центром О.
• Радиус описанной окружности \( R = 6 \) см.

Найти: Расстояние от центра окружности О до стороны АВ.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности, а также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Расстояние от центра окружности до стороны равно радиусу вписанной окружности \( r \).

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны соотношением:

\[ R = 2r \]

Следовательно, \( r = \frac{R}{2} \).

\[ r = \frac{6}{2} = 3 \] см.

Это и есть расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника.

Ответ: Расстояние от центра окружности до стороны АВ равно 3 см.

Задача 5. Построение биссектрисы угла

Задание: Построить биссектрису угла АВС с помощью циркуля и линейки.

Шаги построения:

1. Шаг 1: С помощью циркуля проведите дугу с центром в вершине угла В. Эта дуга должна пересекать стороны угла АВС в двух точках. Обозначим эти точки как М (на стороне АВ) и N (на стороне ВС).
2. Шаг 2: Теперь, используя циркуль, проведите две дуги одинакового радиуса из точек М и N. Эти дуги должны пересечься внутри угла АВС. Обозначим точку пересечения этих дуг как О.
3. Шаг 3: Проведите луч (прямую линию) из вершины угла В через точку О. Этот луч и будет биссектрисой угла АВС.

Обоснование:

Построение основано на свойстве равенства отрезков касательных, проведённых из точки к окружности. В нашем случае, треугольники \( ° \) и \( ° \) равны по трём сторонам (сторона \( BO \) — общая, \( BM = BN \) по построению, \( MO = NO \) как радиусы равных дуг), следовательно, \( ° = ° \). Это означает, что луч ВО делит угол АВС пополам, то есть является его биссектрисой.