1. В треугольник вписана окружность так, что три получившихся отрезков касательных равны 3 см, 4 см, 5 см. Определите вид треугольника.

Решение:

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведённые к вершинам треугольника, равны.

Пусть стороны треугольника равны \(a, b, c\). Тогда отрезки касательных, выходящие из вершин, равны \(x, y, z\).

По условию, \(x = 3\) см, \(y = 4\) см, \(z = 5\) см.

Стороны треугольника равны сумме двух отрезков касательных:

• \(a = y + z = 4 + 5 = 9\) см
• \(b = x + z = 3 + 5 = 8\) см
• \(c = x + y = 3 + 4 = 7\) см

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника:

• \(7 + 8 > 9\) (15 > 9, верно)
• \(7 + 9 > 8\) (16 > 8, верно)
• \(8 + 9 > 7\) (17 > 7, верно)

Треугольник существует. Теперь проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\) (для самого длинного отрезка).

Наибольшая сторона равна 9 см. Проверим:

\[ 9^2 = 81 \]\[ 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \]\[ 81 \neq 113 \]

Следовательно, треугольник не является прямоугольным.

Проверим, является ли он остроугольным или тупоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

• \(9^2 = 81\)
• \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\)
• Так как \(81 < 113\), то противолежащий угол острый.

Поскольку все стороны отличаются, треугольник не равнобедренный и не равносторонний.

Ответ: Треугольник остроугольный.