№1. В треугольнике ABC: AB = 4 см, AC = 4√3 см, ∠C = 30°. Найти ∠B и R.

По теореме синусов:

\(\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\).

Подставим известные значения:

\(\dfrac{4\sqrt3}{\sin B}=\dfrac{4}{\sin30^\circ}\).

\(\sin B=\dfrac{4\sqrt3\cdot\sin30^\circ}{4}=\dfrac{4\sqrt3\cdot\frac12}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Отсюда возможны два значения: \(\angle B=60^\circ\) или \(\angle B=120^\circ\). Без дополнительного условия однозначно выбрать один вариант нельзя.

Радиус описанной окружности найдём по формуле \(\dfrac{AB}{\sin C}=2R\):

\(2R=\dfrac{4}{\sin30^\circ}=\dfrac{4}{\frac12}=8\), поэтому \(R=4\) см.

Ответ: \(\angle B=60^\circ\) или \(120^\circ\); \(R=4\) см.