1. В треугольнике ABC: AB = 6, BC = 8, AC = 7. Найти cos ∠A, sin ∠A, R, r и S△. Построить биссектрису BK, медиану BM и высоту BH.

Обозначим стороны, противоположные углам A, B и C, соответственно: a = 8, b = 7, c = 6.

1. По теореме косинусов: cos ∠A = (6² + 7² − 8²) / (2 · 6 · 7) = 21 / 84 = 1/4.
2. sin ∠A = √(1 − cos² ∠A) = √15/4.
3. Полупериметр: p = (6 + 7 + 8) / 2 = 21/2. По формуле Герона: S△ = √((21/2)(9/2)(7/2)(5/2)) = 105√3/4.
4. Радиус вписанной окружности: r = S△ / p = 5√3/2.
5. Радиус описанной окружности: R = abc / (4S△) = 16√3/15.

Для построения биссектрисы, медианы и высоты используем координаты A = (0, 0), C = (7, 0). Из условий AB = 6 и BC = 8 получаем B = (9/14, 15√15/14). Точка M — середина AC, K — точка пересечения биссектрисы BK со стороной AC, а H — основание перпендикуляра из B на AC.

Ответ: cos ∠A = 1/4; sin ∠A = √15/4; R = 16√3/15; r = 5√3/2; S△ = 105√3/4.