Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1) В треугольнике ABC: AB = 6, BC = 8, AC = 7. Найти cos ∠A, sin ∠A, R, r, S△, биссектрису BK, медиану BM и высоту BH.Фото задания

Ответ:

Обозначим стороны, противоположные углам A, B и C, соответственно: a = BC = 8, b = AC = 7, c = AB = 6.

  1. По теореме косинусов: cos ∠A = (6² + 7² − 8²)/(2 · 6 · 7) = 1/4. Тогда sin ∠A = √(1 − cos² ∠A) = √15/4.

  2. Полупериметр p = (6 + 7 + 8)/2 = 21/2. По формуле Герона S△ = √((21/2)(9/2)(7/2)(5/2)) = 21√15/4.

  3. Радиусы описанной и вписанной окружностей: R = abc/(4S△) = 16√15/15; r = S△/p = √15/2.

  4. Длина биссектрисы из B к стороне AC: BK² = 6 · 8 · (1 − 7²/(6 + 8)²) = 36, поэтому BK = 6.

  5. Длина медианы к AC: BM = ½√(2 · 6² + 2 · 8² − 7²) = √151/2.

  6. Высота к AC: BH = 2S△/AC = 3√15/2.

Ответ: cos ∠A = 1/4; sin ∠A = √15/4; R = 16√15/15; r = √15/2; S△ = 21√15/4; BK = 6; BM = √151/2; BH = 3√15/2.