1. В треугольнике ABC AB = 6 см, AC = 8 см. Найдите все возможные целые значения длины медианы AM.

Обозначим длину стороны BC через a, а длину медианы AM через m.

1. По неравенству треугольника: |8 − 6| < a < 8 + 6, то есть 2 < a < 14.
2. По формуле медианы: m = ½√(2·6² + 2·8² − a²) = ½√(200 − a²).
3. Из границ для a следует: 1 < m² < 49. Поэтому целое положительное m может принимать значения от 2 до 6.
4. Каждое из этих значений достижимо: при m = 2, 3, 4, 5, 6 соответствующие значения a² = 200 − 4m² равны 184, 164, 136, 100 и 56. В каждом случае 2 < a < 14, значит, треугольник существует.

Ответ: 2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см.