1. В треугольнике ABC AB = AC. Внутри треугольника выбрана точка O так, что ∠AOB = ∠AOC, ∠AOB = 120°. Докажите, что AO — биссектриса угла BAC, и найдите угол BOC.

Обозначим ∠BAO = α, ∠OAC = β. В треугольниках AOB и AOC по условию AB = AC, AO — общая сторона и ∠AOB = ∠AOC. По теореме синусов получаем sin ∠ABO = sin ∠ACO.

В каждом из этих треугольников сумма двух оставшихся углов равна 60°, поэтому ∠ABO и ∠ACO лежат между 0° и 60°. Следовательно, равны сами углы: ∠ABO = ∠ACO. Тогда из сумм углов треугольников следует, что α = β, то есть ∠BAO = ∠OAC.

Значит, AO — биссектриса угла BAC. Углы вокруг точки O в сумме равны 360°, поэтому ∠BOC = 360° − 120° − 120° = 120°.

Ответ: AO — биссектриса угла BAC; ∠BOC = 120°.