1) В треугольнике ABC, BD — биссектриса. <A = 75°, <C = 35° а) Доказать, что треугольник BDC — равнобедренный. б) Сравнить AC и BC.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Находим углы треугольника ABC:
   Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C \)
   \( \angle B = 180° - 75° - 35° = 180° - 110° = 70° \)
2. Находим углы треугольника BDC:
   BD — биссектриса, значит, она делит угол B пополам.
   \( \angle DBC = \angle B : 2 = 70° : 2 = 35° \)
   В треугольнике BDC известны два угла:
   \( \angle C = 35° \)
   \( \angle DBC = 35° \)
   \( \angle BDC = 180° - \angle C - \angle DBC \)
   \( \angle BDC = 180° - 35° - 35° = 180° - 70° = 110° \)
3. а) Доказательство, что треугольник BDC — равнобедренный:
   Так как \( \angle C = \angle DBC = 35° \), то треугольник BDC является равнобедренным (по двум равным углам). Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: BC = CD.
4. б) Сравнение AC и BC:
   В треугольнике ABC:
   \( \angle A = 75° \)
   \( \angle C = 35° \)
   \( \angle B = 70° \)
   Наибольший угол — \( \angle A = 75° \). Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла, значит, BC — наибольшая сторона.
   \( BC > AC \)

Ответ: а) Треугольник BDC равнобедренный, так как \( \angle C = \angle DBC = 35° \). б) \( BC > AC \).