1. В треугольнике ABC ∠C = 100°, ∠A = 40°. a) Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектри- ca данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Решение:

а) Доказательство, что треугольник ABC — равнобедренный:

1. Найдем угол B в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 40° - 100° = 40° \).
2. Так как \( \angle A = \angle B = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника (углы при основании равны).
3. Боковые стороны равнобедренного треугольника — это стороны, прилежащие к углу при вершине (углу C). В данном случае это стороны AC и BC.

б) Нахождение углов, которые биссектриса СК образует со стороной АВ:

1. Биссектриса СК делит угол C пополам. \( \angle SCB = \angle SCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \).
2. Рассмотрим треугольник ACK. В нем \( \angle A = 40° \) и \( \angle ACK = 50° \).
3. Угол AKC — внешний угол треугольника BCK. \( \angle AKC = \angle B + \angle SCB = 40° + 50° = 90° \).
4. Следовательно, угол, который биссектриса СК образует со стороной AB (это угол \( \angle AKC \)), равен 90°.
5. Угол, который биссектриса СК образует со стороной AB (это угол \( \angle BKC \)), также равен 90°, так как \( \angle AKC + \angle BKC = 180° \), и \( \angle BKC = 180° - 90° = 90° \).

Ответ: а) Треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны — AC и BC. б) Биссектриса СК образует с стороной AB прямые углы (по 90°).