1. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 48, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Введём координаты: пусть A=(0,0), C=(48,0), B=(x,y). Тогда из AB=36 получаем x^2+y^2=1296.

Так как центр описанной окружности равноудалён от A и B, для координат центра O=(24,k) имеем 24x+ky=648. Следовательно, k=(648-24x)/y.

Направляющий вектор прямой AO — (24,k), поэтому перпендикулярный ему вектор можно взять равным (k,−24). Переходя от B к точке пересечения D с осью AC, получаем x_D=x+ky/24=27. Значит, AD=27, а CD=48−27=21.

Ответ: 21.