1. В треугольнике ABC медиана BM. Известно, что BM = AB и ∠ABM = 70°. Найдите углы треугольника ABC.

Так как BM = AB, треугольник ABM равнобедренный с вершиной B. Поэтому его углы при основании равны: ∠BAM = ∠AMB = (180° − 70°) : 2 = 55°.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, значит AM = MC. В треугольнике ABM по теореме синусов AM = 2BM · sin 35°. Угол BMC смежный с углом AMB, поэтому ∠BMC = 125°.

В треугольнике BMC по теореме синусов: sin∠BCM = BM · sin 125° / MC = sin 55° / (2 sin 35°). Следовательно, ∠BCM ≈ 45,6°. Второй вариант для угла синуса невозможен, поскольку вместе с углом 125° сумма углов превысила бы 180°.

Тогда ∠MBC = 180° − 125° − 45,6° ≈ 9,4°. Так как ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC, получаем ∠ABC ≈ 79,4°.

Ответ: ∠A = 55°, ∠C ≈ 45,6°, ∠B ≈ 79,4°.