1. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Решение:

1. Пусть \( BC = x \). Так как BM — медиана, то \( MC = AM = AC/2 = 2/2 = 1 \).
2. По условию \( BC = BM = x \).
3. Рассмотрим треугольник BHC. По теореме Пифагора: \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).
4. Рассмотрим треугольник ABH. По теореме Пифагора: \( BH^2 + AH^2 = AB^2 \).
5. Так как \( BC = BM \), треугольник BCM равнобедренный. Угол BCM равен углу BMC.
6. В треугольнике ABC: \( HC = MC - MH = 1 - MH \) или \( HC = MH - MC = MH - 1 \) (в зависимости от положения точки H относительно M и C).
7. Рассмотрим треугольник BHM. \( BH^2 = BM^2 - MH^2 = x^2 - MH^2 \).
8. Подставим \( BH^2 \) в уравнение для треугольника BHC: \( (x^2 - MH^2) + HC^2 = x^2 \) \( HC^2 = MH^2 \) \( HC = MH \) (так как длины положительны).
9. Из \( HC = MH \) следует, что \( M \) — середина отрезка \( HC \).
10. Так как \( M \) — середина \( AC \) и \( M \) — середина \( HC \), то \( AM = MC = 1 \) и \( MH = MC = 1 \).
11. Следовательно, \( HC = 1 \).
12. Поскольку \( M \) — середина \( AC \), то \( AM = MC = 1 \).
13. Так как \( MH = MC = 1 \) и \( H \) лежит между \( M \) и \( C \), то \( HC = MC - MH = 1 - 1 = 0 \). Это невозможно.
14. Если \( H \) лежит между \( A \) и \( M \), то \( AH = AM - MH = 1 - MH \). \( HC = HM + MC = MH + 1 \).
15. Из \( HC = MH \) следует, что \( MH + 1 = MH \), что невозможно.
16. Если \( M \) лежит между \( A \) и \( H \), то \( AH = AM + MH = 1 + MH \). \( HC = MC - MH = 1 - MH \).
17. Из \( HC = MH \) следует, что \( 1 - MH = MH \), \( 2MH = 1 \), \( MH = 0.5 \).
18. Тогда \( AH = 1 + 0.5 = 1.5 \).
19. Проверим: \( BH^2 = BM^2 - MH^2 = x^2 - 0.5^2 \). \( HC = 1 - 0.5 = 0.5 \). \( BH^2 + HC^2 = (x^2 - 0.25) + 0.5^2 = x^2 - 0.25 + 0.25 = x^2 = BC^2 \). Условие выполняется.

Ответ: AH = 1.5