1. В треугольнике ABC точка D — середина стороны AC, точка O — точка пересечения его высот, точка K ∉ (ABC). При каком условии можно провести плоскость через прямую KB и точки O и D?

Точки O и D лежат в плоскости треугольника ABC. Так как точка K не принадлежит плоскости (ABC), плоскость, проходящая через прямую KB и точки O и D, пересекает плоскость (ABC) по прямой OD.

Прямая KB пересекает плоскость (ABC) в точке B. Поэтому для существования такой плоскости точка B должна лежать на прямой OD, то есть точки B, O и D должны быть коллинеарны.

Поскольку O — ортоцентр, условие O ∈ BD означает, что медиана BD является также высотой треугольника. В треугольнике медиана, являющаяся высотой, проведена к основанию равнобедренного треугольника.

Ответ: плоскость можно провести при условии AB = BC, то есть если треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.