1. В треугольнике AMK ∠K = 45°, MK = 4, AM = 4√2. Найти: ∠A, ∠M и радиус описанной окружности.

Обозначим стороны, лежащие напротив углов A, M и K, соответственно: MK, AK и AM.

1. По теореме синусов: \(\frac{MK}{\sin A}=\frac{AM}{\sin K}\). Поэтому \(\sin A=\frac{4\sin45^\circ}{4\sqrt2}=\frac12\), откуда \(A=30^\circ\) или \(150^\circ\).
2. Значение \(150^\circ\) невозможно: вместе с \(K=45^\circ\) сумма углов превысила бы \(180^\circ\). Значит, \(\angle A=30^\circ\).
3. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \(\angle M=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).
4. Радиус описанной окружности находим по формуле \(2R=\frac{MK}{\sin A}\): \(R=\frac{4}{2\sin30^\circ}=4\).

Ответ: \(\angle A=30^\circ,\ \angle M=105^\circ,\ R=4\).