1. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 45. Найдите площадь треугольника АВС.

Задание 1: Средняя линия треугольника

Дано:

• DE — средняя линия треугольника ABC.
• Площадь треугольника CDE: \( S_{CDE} = 45 \).

Найти: площадь треугольника ABC (\( S_{ABC} \)).

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам (угол C общий, \( ∠ CDE = ∠ CAB \) как соответственные при параллельных DE и AB и секущей AC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \) (так как DE — средняя линия).

Следовательно, отношение площадей:

\[ \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2 = \frac{1}{4} \]

Отсюда, площадь треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = 4 \times S_{CDE} \]

Подставим известное значение площади:

\[ S_{ABC} = 4 \times 45 = 180 \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 180.