1. В треугольнике АВС точка Д – середина стороны АВ, точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор МД через векторы МА и МВ и вектор АМ через векторы АВ и АС. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС, если АВ = АС = 2, угол В равен 45°.

Решение:

1. Выражение векторов:

• Вектор \( \vec{MA} \) и \( \vec{MB} \) противонаправлены и равны по длине \( \frac{1}{2} \vec{AB} \) так как М - середина АВ, но в условии сказано, что Д - середина АВ. Если М - точка пересечения медиан, то \( \vec{AM} = \frac{2}{3} \vec{AD} \).
• Если Д - середина АВ, то \( \vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{MB} + \frac{1}{2}\vec{MA} \).
• Поскольку \( \vec{MA} = -\vec{MB} \), то \( \vec{MD} = \vec{0} \).
• Если M - точка пересечения медиан, то \( \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \).

2. Скалярное произведение векторов:

Вектор \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) составляют угол \( \angle BAC \) = \( \alpha \). Вектор \( \vec{BC} \) образует угол \( \angle B = 45^\circ \).

По теореме косинусов для \( \vec{AC} \): \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos(B) \).

Поскольку \( AB=AC=2 \), треугольник равнобедренный. Угол \( C = \angle B = 45^\circ \). Тогда \( \angle BAC = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ \).

Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cos(\angle BAC) \).

\( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 \cos(90^\circ) = 4 \cdot 0 = 0 \).

Ответ: \( \vec{MD} = \vec{0} \), \( \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \), \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \).