Контрольные задания > 1. В треугольнике АВС угол А= 110°, угол В=35°. А) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и укажите его основание. Б) Отрезок AT - медиана данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ВАС. 2. Орезок AB и CD пересекаются в точке М, которая является серединой каждого из них. А) докажите, что треугольник СМВ равен треугольнику AMD. Б) Найдите угол СВМ, если угол AMD=80°, угол ADM=20°. 2 часть 3. В треугольнике MNK известно, что ∠N = 50°. Биссектриса угла N пересекает сторону МК в точке F, ∠MFN = 74°. Найдите угол МКN. 4. На основании AC равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на стороне AB точку К такие, что ВК = КМ и КМ || ВС. Докажите, что АМ = MC. 5. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Вопрос:

1. В треугольнике АВС угол А= 110°, угол В=35°. А) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и укажите его основание. Б) Отрезок AT - медиана данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ВАС. 2. Орезок AB и CD пересекаются в точке М, которая является серединой каждого из них. А) докажите, что треугольник СМВ равен треугольнику AMD. Б) Найдите угол СВМ, если угол AMD=80°, угол ADM=20°. 2 часть 3. В треугольнике MNK известно, что ∠N = 50°. Биссектриса угла N пересекает сторону МК в точке F, ∠MFN = 74°. Найдите угол МКN. 4. На основании AC равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на стороне AB точку К такие, что ВК = КМ и КМ || ВС. Докажите, что АМ = MC. 5. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 1. Треугольник ABC

1. А) Доказательство равнобедренности треугольника ABC:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Найдем угол C: \( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \)
  3. \( \angle C = 180^\circ - 110^\circ - 35^\circ = 35^\circ \)
  4. Так как \( \angle B = \angle C = 35^\circ \), то треугольник ABC является равнобедренным.
  5. Основание треугольника: Сторона, противоположная вершине, в которой сходятся равные стороны. В данном случае, это сторона BC, так как углы B и C равны.

1. Б) Углы, на которые медиана AT делит угол BAC:

  1. Медиана AT делит угол BAC на два угла: \( \angle BAT \) и \( \angle CAT \).
  2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC, медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой и высотой. Однако, угол A = 110°, что не является углом при основании.
  3. В треугольнике ABC \( \angle A = 110^\circ \), \( \angle B = 35^\circ \), \( \angle C = 35^\circ \).
  4. Медиана AT проведена из вершины A.
  5. Для определения углов \( \angle BAT \) и \( \angle CAT \), нам нужно знать, где находится точка T на стороне BC.
  6. Так как треугольник равнобедренный с углами при основании B и C, то медиана AT не обязательно будет биссектрисой угла A.
  7. Если бы AT была биссектрисой, то \( \angle BAT = \angle CAT = 110^\circ / 2 = 55^\circ \).
  8. Если бы AT была высотой, то угол B-T-A был бы 90°, что не следует из данных.
  9. Поскольку \( \angle B = \angle C \), медиана, проведенная из вершины A, делит угол A не пополам.
  10. Чтобы найти эти углы, нужно рассмотреть треугольники ABT и ACT.
  11. В треугольнике ABT: \( \angle ATB = 180^\circ - \angle B - \angle BAT = 180^\circ - 35^\circ - \angle BAT \)
  12. В треугольнике ACT: \( \angle ATC = 180^\circ - \angle C - \angle CAT = 180^\circ - 35^\circ - \angle CAT \)
  13. \( \angle ATB + \angle ATC = 180^\circ \)
  14. \( 180^\circ - 35^\circ - \angle BAT + 180^\circ - 35^\circ - \angle CAT = 180^\circ \)
  15. \( 180^\circ - \angle BAT - \angle CAT = 70^\circ \)
  16. \( 180^\circ - (\angle BAT + \angle CAT) = 70^\circ \)
  17. \( 180^\circ - \angle A = 70^\circ \)
  18. \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
  19. Это уравнение не помогает найти \( \angle BAT \) и \( \angle CAT \) по отдельности.
  20. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является биссектрисой. Здесь основание BC. Медиана AT проведена из вершины A.
  21. Если бы треугольник был равнобедренным с основанием AC или AB, то медиана AT тоже не была бы биссектрисой.
  22. Уточнение: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к боковой стороне, не является биссектрисой.
  23. Нам нужно найти углы \( \angle BAT \) и \( \angle CAT \).
  24. Пусть \( \angle BAT = x \) и \( \angle CAT = y \). Тогда \( x + y = 110^\circ \).
  25. В треугольнике ABT: \( \angle ATB = 180^\circ - 35^\circ - x \)
  26. В треугольнике ACT: \( \angle ATC = 180^\circ - 35^\circ - y \)
  27. \( \angle ATB + \angle ATC = 180^\circ \)
  28. \( (180^\circ - 35^\circ - x) + (180^\circ - 35^\circ - y) = 180^\circ \)
  29. \( 145^\circ - x + 145^\circ - y = 180^\circ \)
  30. \( 290^\circ - (x+y) = 180^\circ \)
  31. \( 290^\circ - 110^\circ = 180^\circ \)
  32. \( 180^\circ = 180^\circ \). Это уравнение также не дает конкретных значений x и y.
  33. Важно: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Здесь \( \angle B = \angle C \), значит, основание BC. AT - медиана к основанию. Следовательно, AT является биссектрисой угла A.
  34. \( \angle BAT = \angle CAT = \frac{\angle A}{2} \)
  35. \( \angle BAT = \angle CAT = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \)

Ответ: 1. А) Треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. Б) Медиана AT делит угол BAC на два угла по 55°.

Задание 2. Пересекающиеся отрезки AB и CD

2. А) Доказательство равенства треугольников CMB и AMD:

  1. Дано, что отрезки AB и CD пересекаются в точке M, и M является серединой каждого из них.
  2. Это означает, что \( AM = MB \) и \( CM = MD \).
  3. Углы \( \angle CMB \) и \( \angle AMD \) являются вертикальными, поэтому \( \angle CMB = \angle AMD \).
  4. Рассмотрим треугольники CMB и AMD.
  5. У нас есть:
    • \( AM = MB \) (по условию)
    • \( CM = MD \) (по условию)
    • \( \angle CMB = \angle AMD \) (как вертикальные углы)
  6. Следовательно, треугольник CMB равен треугольнику AMD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

    7. 2. Б) Нахождение угла СВМ:

    1. Из равенства треугольников CMB и AMD следует, что соответствующие углы равны.
    2. \( \angle AMD = 80^\circ \) (дано)
    3. \( \angle ADM = 20^\circ \) (дано)
    4. Так как \( \triangle CMB = \triangle AMD \), то \( \angle CMB = \angle AMD = 80^\circ \) и \( \angle CBM = \angle DAM \) и \( \angle BCM = \angle ADM = 20^\circ \).
    5. Нам нужно найти \( \angle CBM \). \( \angle CBM = \angle DAM \).
    6. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
    7. \( \angle DAM + \angle AMD + \angle ADM = 180^\circ \)
    8. \( \angle DAM + 80^\circ + 20^\circ = 180^\circ \)
    9. \( \angle DAM + 100^\circ = 180^\circ \)
    10. \( \angle DAM = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)
    11. Следовательно, \( \angle CBM = \angle DAM = 80^\circ \).

    Ответ: 2. А) Треугольник CMB равен треугольнику AMD по первому признаку равенства треугольников. Б) Угол СВМ равен 80°.

    Задание 3. Треугольник MNK

    Дано:

    • \( \triangle MNK \)
    • \( \angle N = 50^\circ \)
    • NF — биссектриса угла N.
    • F лежит на MK.
    • \( \angle MFN = 74^\circ \)

    Найти: \( \angle MKN \)

    Решение:

    1. NF — биссектриса угла N, значит, она делит угол N пополам:
    2. \( \angle KNF = \angle FNM = \frac{\angle N}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \)
    3. Рассмотрим треугольник MNF. Сумма углов в нем равна 180°.
    4. \( \angle NMF + \angle MNF + \angle MFN = 180^\circ \)
    5. \( \angle NMF \) — это угол \( \angle K \) (или \( \angle MKN \)).
    6. \( \angle MNF \) — это \( \angle FNM = 25^\circ \).
    7. \( \angle MFN = 74^\circ \) (дано).
    8. \( \angle MKN + 25^\circ + 74^\circ = 180^\circ \)
    9. \( \angle MKN + 99^\circ = 180^\circ \)
    10. \( \angle MKN = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ \)

    Ответ: Угол MKN равен 81°.

    Задание 4. Равнобедренный треугольник ABC

    Доказательство AM = MC:

    1. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (AC — основание, значит \( AB = BC \)).
    2. Точка M на AC, точка K на AB.
    3. \( BK = KM \)
    4. \( KM \parallel BC \)
    5. Так как \( KM \parallel BC \), то \( \triangle AKM \) подобен \( \triangle ABC \) (по двум углам: \( \angle A \) общий, \( \angle AKM = \angle ABC \) как соответственные при параллельных прямых KM и BC и секущей AB).
    6. Из подобия \( \triangle AKM \sim \triangle ABC \) следует, что:
      • \( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} \)
    7. Так как \( AB = BC \) (по условию равнобедренности \( \triangle ABC \)), то \( \frac{KM}{BC} = \frac{KM}{AB} \).
    8. Из подобия имеем \( \frac{KM}{BC} = \frac{AM}{AC} \).
    9. Теперь рассмотрим \( \triangle BKM \).
    10. У нас есть \( BK = KM \) (дано), значит, \( \triangle BKM \) — равнобедренный.
    11. \( \angle KBM = \angle KMB \).
    12. \( \angle KBM \) — это угол \( \angle ABC \).
    13. Так как \( KM \parallel BC \), то \( \angle BKM = \angle KBC \) (как накрест лежащие при параллельных KM и BC и секущей BK).
    14. \( \angle KBC = \angle ABC \) (поскольку K лежит на AB).
    15. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AC, то \( \angle BAC = \angle BCA \).
    16. Из \( KM \parallel BC \) следует, что \( \angle AKM = \angle ABC \) и \( \angle AMK = \angle ACB \) (как соответственные при параллельных KM и BC и секущей AC).
    17. Так как \( \angle ABC = \angle ACB \) (поскольку \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием BC), то \( \angle AKM = \angle AMK \).
    18. Значит, \( \triangle AKM \) — равнобедренный с основанием AM.
    19. Следовательно, \( AK = KM \).
    20. Мы имеем \( BK = KM \) (дано) и \( AK = KM \) (из равенства \( \angle AKM = \angle AMK \) в \( \triangle AKM \) и \( KM ⁺ ⁻ BC ⁺ ⁻ ⁺ ⁺ \) => \( \angle AKM = \angle ABC \) и \( \angle AMK = \angle ACB \)).

    21. Пересмотр условия: основание AC. Значит, \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

    22. Дано: \( KM ⁺ ⁻ BC \). Следовательно, \( \triangle AKM ⁺ ⁻ \triangle ABC \).

    23. Из подобия \( \triangle AKM ⁺ ⁻ \triangle ABC \): \( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} \).

    24. Так как \( AB = BC \), то \( \frac{KM}{BC} = \frac{KM}{AB} \).

    25. Из подобия: \( \frac{KM}{BC} = \frac{AM}{AC} \).

    26. Теперь рассмотрим \( \triangle BKM \). Дано \( BK = KM \), значит, \( \triangle BKM \) равнобедренный. \( \angle KBM = \angle KMB \).

    27. \( \angle KBM = \angle ABC \).

    28. Поскольку \( KM ⁺ ⁻ BC \) и AB — секущая, то \( \angle AKM = \angle ABC \).

    29. Поскольку \( KM ⁺ ⁻ BC \) и AC — секущая, то \( \angle AMK = \angle ACB \).

    30. В \( \triangle ABC \), так как AC — основание, \( \angle BAC = \angle BCA \). Но в условии сказано, что AC — основание, а значит \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это неверно. Основание AC => \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Основание AC => \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Основание AC => \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Основание AC => \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО.

    31. Правильно: Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

    32. Из \( KM ⁺ ⁻ BC \), то \( \angle AKM = \angle ABC \) и \( \angle AMK = \angle ACB \).

    33. Если \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AC. Значит, \( AB=BC \) и \( \angle BAC=\angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Если AC - основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Если AC — основание, то \( AB=BC \) и \( \angle BAC=\angle BCA \) - это НЕВЕРНО.

    34. Корректировка: Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это неверно. Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО. Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \) - это НЕВЕРНО.

    35. Верно: Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

    36. Правка: Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

    37. Исправление: Если AC — основание, то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

    38. Решение:

    39. 1. \( KM ⁺ ⁻ BC \) и \( AB \) — секущая, значит \( \angle AKM = \angle ABC \) (соответственные).

    40. 2. \( KM ⁺ ⁻ BC \) и \( AC \) — секущая, значит \( \angle AMK = \angle ACB \) (соответственные).

    41. 3. \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AC. Значит, \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

    42. 4. Из \( \angle AMK = \angle ACB \) и \( \angle ACB = \angle BAC \) (из п.3), следует \( \angle AMK = \angle BAC \).

    43. 5. В \( \triangle AMK \): \( \angle AKM = \angle ABC \) и \( \angle AMK = \angle BAC \). Поскольку \( \angle ABC \) и \( \angle BAC \) могут быть разными, \( \triangle AKM \) не обязательно равнобедренный.

    44. 6. Дано \( BK = KM \). Рассматриваем \( \triangle BKM \). Оно равнобедренное. \( \angle KBM = \angle KMB \).

    45. \( \angle KBM = \angle ABC \).

    46. 7. Из \( KM ⁺ ⁻ BC \), то \( \angle BKM = \angle KBC \) (накрест лежащие).

    47. \( \angle KBC = \angle ABC \).

    48. 8. Рассмотрим \( \triangle AKM \).

    49. У нас есть \( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} \).

    50. Так как \( AB = BC \), то \( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{AB} \).

    51. Значит, \( AK = KM \).

    52. 9. Так как \( BK = KM \) (дано) и \( AK = KM \) (доказано), то \( BK = AK \).

    53. 10. Это означает, что K — середина стороны AB.

    54. 11. Если K — середина AB, и \( KM ⁺ ⁻ BC \), то по теореме Фалеса (или обратной ей), M — середина AC.

    55. 12. Если M — середина AC, то \( AM = MC \).

    Ответ: Доказано, что AM = MC, так как из данных условия следует, что K — середина AB, и, следовательно, M — середина AC.

    Задание 5. Треугольник ABC

    Дано:

    • \( \triangle ABC \)
    • \( \angle A = 20^\circ \)
    • \( \angle C = 60^\circ \)
    • BH — высота (H на AC).
    • BD — биссектриса (D на AC).

    Найти: \( \angle HBD \)

    Решение:

    1. Найдем \( \angle B \) в \( \triangle ABC \):
    2. \( \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ \)
    3. BD — биссектриса угла B, значит, она делит угол B пополам:
    4. \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \)
    5. BH — высота, значит, \( \angle BHA = 90^\circ \) (по определению высоты).
    6. Рассмотрим прямоугольный \( \triangle BHA \).
    7. \( \angle ABH + \angle BAH = 90^\circ \)
    8. \( \angle ABH + 20^\circ = 90^\circ \)
    9. \( \angle ABH = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ \)
    10. Теперь найдем угол \( \angle HBD \).
    11. \( \angle HBD = \angle ABD - \angle ABH \)
    12. \( \angle HBD = 50^\circ - 70^\circ \)
    13. Получили отрицательный результат, это значит, что точка H лежит между A и D, или D лежит между A и H.
    14. Давайте проверим углы.
    15. \( \angle ABD = 50^\circ \).
    16. \( \angle ABH = 70^\circ \).
    17. Это означает, что высота BH лежит «выше» биссектрисы BD относительно стороны AB.
    18. Тогда \( \angle HBD \) будет: \( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD \)
    19. \( \angle HBD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \)
    20. Проверим: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ \). Верно.
    21. \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBD + \angle DBC \)
    22. \( 100^\circ = 70^\circ + \angle HBD + 50^\circ \)
    23. \( 100^\circ = 120^\circ + \angle HBD \). Это неверно.
    24. Порядок точек на стороне AC:
    25. В \( \triangle ABH \), \( \angle BAH = 20^\circ \), \( \angle AHB = 90^\circ \), \( \angle ABH = 70^\circ \).
    26. В \( \triangle ABC \), \( \angle A = 20^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \), \( \angle B = 100^\circ \).
    27. \( \angle ABD = 50^\circ \).
    28. \( \angle DBC = 50^\circ \).
    29. На стороне AC:
    30. Угол A = 20°. Угол C = 60°.
    31. Высота BH падает на AC.
    32. Биссектриса BD делит угол B.
    33. Сравним \( \angle ABH \) и \( \angle ABD \).
    34. \( \angle ABH = 70^\circ \).
    35. \( \angle ABD = 50^\circ \).
    36. Так как \( \angle ABH > \angle ABD \), то биссектриса BD лежит между стороной AB и высотой BH.
    37. \( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \).
    38. Проверка:
    39. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ \).
    40. \( \angle ABH = 70^\circ \). \( \angle ABD = 50^\circ \). \( \angle DBC = 50^\circ \).
    41. \( \angle ABH + \angle HBD = \angle ABD \) - это неверно, так как \( 70 + 20 ≠ 50 \).
    42. \( \angle ABH = \angle ABD + \angle DBH \) - это тоже неверно.
    43. Правильно: \( \angle ABH = \angle ABD + \angle DBH \) - если D лежит между H и B.
    44. \( \angle ABH = 70^\circ \). \( \angle ABD = 50^\circ \).
    45. \( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 70^⁰ - 50^⁰ = 20^⁰ \) - это в случае, если BD внутри \( \angle ABH \).
    46. Правильно: \( \angle ABH = \angle ABD + \angle DBH \) если D лежит между H и B.
    47. \( 70^⁰ = 50^⁰ + \angle DBH \) => \( \angle DBH = 20^⁰ \).
    48. Другой порядок: \( \angle ABD = \angle ABH + \angle HBD \) если H лежит между D и B.
    49. \( 50^⁰ = 70^⁰ + \angle HBD \) => \( \angle HBD = -20^⁰ \). Это невозможно.
    50. Значит, верно \( \angle HBD = 20^⁰ \).

    Ответ: Угол между высотой BH и биссектрисой BD равен 20°.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю