1. В треугольнике АВС угол С равен 177°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах. 2. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и №. Известно, что ∠NBA = 71°. Найдите угол №МВ. Ответ дайте в градусах. 3. Площадь параллелограмма равна 36, а две его стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. 5. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 2) Все квадраты имеют равные площади. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Задание 1. Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Также внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180 градусов.

Дано:

• В треугольнике ABC угол C = 177°.

Найти: внешний угол при вершине C.

Решение:

Внешний угол при вершине C = 180° - внутренний угол C.

\[ 180^° - 177^° = 3^° \]

Ответ: 3

Задание 2. Угол в окружности

Дано:

• На окружности точки M и N по разные стороны от диаметра AB.
• \( \angle NBA = 71^\circ \)

Найти: \( \angle NMB \)

Решение:

1. Так как AB — диаметр, то \( \angle ANB = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр).
2. В треугольнике \( \triangle NBA \): \( \angle NAB = 180^° - 90^° - 71^° = 19^° \).
3. Углы \( \angle NMB \) и \( \angle NAB \) опираются на одну дугу NB, поэтому они равны.
4. \( \angle NMB = \angle NAB = 19^° \).

Ответ: 19

Задание 3. Высота параллелограмма

Дано:

• Площадь параллелограмма \( S = 36 \).
• Стороны: \( a = 6 \), \( b = 12 \).

Найти: большую высоту.

Решение:

Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \( S = a \cdot h_a \) или \( S = b \cdot h_b \).

Найдем обе высоты:

1. Высота к стороне \( a=6 \): \[ h_a = \frac{S}{a} = \frac{36}{6} = 6 \]
2. Высота к стороне \( b=12 \): \[ h_b = \frac{S}{b} = \frac{36}{12} = 3 \]

Большая высота — это высота, проведенная к меньшей стороне. В данном случае, большая высота равна 6.

Ответ: 6

Задание 4. Ромб на клетчатой бумаге

Дано: ромб на клетчатой бумаге, размер клетки 1x1.

Найти: длину большей диагонали.

Решение:

Рассмотрим ромб на клетчатой бумаге. Клетки имеют размер 1x1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Посчитаем количество клеток вдоль диагоналей:

• Одна диагональ проходит через 4 клетки по горизонтали.
• Другая диагональ проходит через 6 клеток по вертикали.

Длина большей диагонали равна 6.

Ответ: 6

Задание 5. Истинные высказывания

Анализ высказываний:

1. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Это высказывание истинно. Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является квадратом. Квадрат — это частный случай прямоугольника.

2. Все квадраты имеют равные площади.

Это высказывание ложно. Квадраты могут иметь разные размеры, а значит, и разные площади. Например, квадрат со стороной 2 см имеет площадь 4 см², а квадрат со стороной 3 см — площадь 9 см².

3. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Это высказывание ложно. Рассмотрим равносторонний треугольник, у которого все углы равны 60°. В тупоугольном треугольнике один угол может быть больше 90°, а два других — меньше 60°. Например, углы могут быть 100°, 40°, 40°.

Ответ: 1