1. В треугольнике АВС < В = 45°, < A = 60°, BC = 4√2. Найдите АС.

Решение:

По теореме синусов для треугольника ABC:

\( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \)

Найдём угол C:

\( \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - 45° = 75° \)

Теперь найдём AC:

\( AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} \)

Подставим значения синусов:

\( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: AC = \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\).