1. В треугольнике CDE угол D в 2,5 раза больше угла С. а угол Е на 24° меньше угла D. Найдите угол Е. a) 73°; б) 74°; в) 61°; г) 68°. 2. В равнобедренном треугольнике EFH ∠ F = 118°. ЕО — высота этого треугольника. Найдите угол ОЕН. a) 57°; б) 59°; в) 67°; г) 63°. 3. В равнобедренном треугольнике биссектрисы уг-лов при основании образуют при пересечении угол, равный 64°. Найдите угол при вершине этого треугольника. a) 58°; б) 76°; в) 68°; г) 52°. 4. В треугольнике АВС медиана AD вдвое меньше стороны ВС. Найдите угол А треугольника АВС. a) 100°; б) 80°; в) 90°; г) 75°. 5. Один из внешних углов треугольника в 4 раза боль-ше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 60°. a) 132°; б) 136°; в) 144°; г) 148°. 6. Дано: ∆ АВС — прямоугольный (∠ C = 90°), ∠ A = 32°, CH — высота, CO — биссектриса угла АСВ. Найти: ∠ HCO. a) 17°; б) 13°; в) 28°; г) 29°.

1. Решение:

Обозначим угол С как $$x$$. Тогда угол D равен $$2.5x$$. Угол Е на 24° меньше угла D, то есть $$E = 2.5x - 24°$$.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[ C + D + E = 180° \]

\[ x + 2.5x + (2.5x - 24°) = 180° \]

\[ 6x - 24° = 180° \]

\[ 6x = 180° + 24° \]

\[ 6x = 204° \]

\[ x = \frac{204°}{6} = 34° \]

Теперь найдем угол Е:

\[ E = 2.5x - 24° = 2.5(34°) - 24° = 85° - 24° = 61° \]

Ответ: в) 61°

2. Решение:

В равнобедренном треугольнике EFH, угол F = 118°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\[ \angle E + \angle F + \angle H = 180° \]

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $$\angle E = \angle H$$.

\[ 2\angle H + 118° = 180° \]

\[ 2\angle H = 180° - 118° \]

\[ 2\angle H = 62° \]

\[ \angle H = 31° \]

EO — высота, значит, угол OEH = 90°.

Рассмотрим треугольник EOH. Сумма углов в нем равна 180°.

\[ \angle OEH + \angle EHO + \angle HOE = 180° \]

\[ 90° + 31° + \angle HOE = 180° \]

\[ \angle HOE = 180° - 90° - 31° = 59° \]

Ответ: б) 59°

3. Решение:

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен $$A$$. Углы при основании равны $$B$$.

\[ A + 2B = 180° \]

Биссектрисы углов при основании пересекаются под углом 64°. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами и основанием. Углы этого треугольника равны $$B/2$$, $$B/2$$ и 64°.

Сумма углов в этом треугольнике:

\[ \frac{B}{2} + \frac{B}{2} + 64° = 180° \]

\[ B + 64° = 180° \]

\[ B = 180° - 64° = 116° \]

Теперь найдем угол при вершине A:

\[ A + 2(116°) = 180° \]

\[ A + 232° = 180° \]

Здесь есть ошибка, угол при основании не может быть больше 90° в равнобедренном треугольнике. По условию, биссектрисы углов при основании образуют угол 64°. Это означает, что угол при вершине биссектрис равен 64°.

Пусть угол при вершине равен $$A$$, а углы при основании — $$B$$.

\[ A + 2B = 180° \]

Биссектрисы углов при основании делят эти углы пополам. Угол между биссектрисами равен 64°.

\[ \frac{B}{2} + \frac{B}{2} + 64° = 180° \]

\[ B + 64° = 180° \]

\[ B = 116° \]

Это снова неверно. Угол между биссектрисами углов при основании равен $$180° - (B/2 + B/2) = 180° - B$$.

Значит, $$180° - B = 64°$$, откуда $$B = 180° - 64° = 116°$$. Это опять же больше 90°.

Другой вариант: угол между биссектрисами — это угол в треугольнике, образованном биссектрисами и боковой стороной. Тогда углы этого треугольника будут $$B/2$$, $$A/2$$, и угол между биссектрисами.

Давайте переформулируем: угол, образованный биссектрисами углов при основании, является внешним углом к треугольнику, образованному биссектрисой и боковой стороной.

Правильное рассуждение: Пусть угол при вершине $$A$$, углы при основании $$B$$. $$A + 2B = 180°$$. Биссектрисы углов при основании $$B$$ пересекаются. Рассмотрим треугольник, образованный этими биссектрисами и основанием. Углы этого треугольника: $$B/2$$, $$B/2$$, и угол между биссектрисами. Сумма углов $$B/2 + B/2 + 64° = 180°$$ неверна.

Угол между биссектрисами углов при основании равен $$90° + A/2$$.

\[ 90° + \frac{A}{2} = 64° \]

\[ \frac{A}{2} = 64° - 90° = -26° \]

Это также неверно. Угол между биссектрисами углов при основании должен быть тупым, если угол при вершине острый.

По условию, биссектрисы углов при основании образуют угол 64°. Этот угол является углом при вершине треугольника, образованного биссектрисами и основанием. Углы этого треугольника:

\[ \frac{B}{2}, \frac{B}{2}, 64° \]

\[ \frac{B}{2} + \frac{B}{2} + 64° = 180° \]

\[ B + 64° = 180° \]

\[ B = 116° \]

Если угол при основании $$116°$$, то $$A = 180° - 2(116°) < 0$$, что невозможно.

Возможно, 64° — это внешний угол к треугольнику, образованному биссектрисами.

Проверим вариант, где угол при вершине $$A$$. Углы при основании $$B$$. Биссектрисы пересекаются. Треугольник с вершинами в углах основания и точке пересечения биссектрис. Углы: $$B/2$$, $$B/2$$. Сумма углов $$B/2 + B/2 + \text{угол пересечения} = 180°$$.

Угол между биссектрисами углов при основании $$B$$ равен $$90° + A/2$$.

\[ 90° + \frac{A}{2} = 64° \]

Это дает отрицательный $$A$$. Значит, 64° — это острый угол между биссектрисами.

Пусть угол при основании $$B$$. Биссектриса делит его пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя биссектрисами и боковой стороной. Углы: $$B/2$$, $$A/2$$. Третий угол — между биссектрисами. Этот третий угол не 64°.

Снова: угол между биссектрисами углов при основании $$B$$ равен $$90° + A/2$$. Если этот угол 64°, то $$A$$ отрицательный.

Если угол при вершине $$A$$, а углы при основании $$B$$, то $$A + 2B = 180°$$. Биссектрисы $$BI$$ и $$CI$$ пересекаются в точке $$I$$. Угол $$BIC = 180° - (B/2 + B/2) = 180° - B$$.

Если $$180° - B = 64°$$, то $$B = 116°$$. Тогда $$A = 180° - 2(116°) < 0$$.

Значит, 64° — это не угол $$BIC$$.

Возможно, 64° — это угол между биссектрисой и боковой стороной?

Пусть угол при вершине $$A$$. Углы при основании $$B$$. Биссектрисы $$BI$$ и $$CI$$ пересекаются. Угол $$BIC$$.

Если $$A$$ — тупой, то $$B$$ — острые. Угол $$BIC = 90° + A/2$$.

Если $$A$$ — острый, то $$B$$ — острые. Угол $$BIC = 90° + A/2$$.

Если $$A$$ — прямой, то $$B = 45°$$. Угол $$BIC = 90° + 45° = 135°$$.

Угол между биссектрисами углов при основании, если он острый, равен $$180° - (90° + A/2) = 90° - A/2$$.

Тогда $$90° - A/2 = 64°$$.

\[ \frac{A}{2} = 90° - 64° = 26° \]

\[ A = 52° \]

Проверим: Если $$A = 52°$$, то $$B = (180° - 52°)/2 = 128°/2 = 64°$$.

Угол между биссектрисами углов при основании $$B=64°$$ равен $$90° + A/2 = 90° + 52°/2 = 90° + 26° = 116°$$.

А если острый угол между биссектрисами $$64°$$, то $$90° - A/2 = 64°$$. $$A/2 = 26°$$, $$A=52°$$.

Ответ: г) 52°

4. Решение:

В треугольнике ABC медиана AD вдвое меньше стороны BC. Медиана, проведенная к стороне треугольника, равна половине этой стороны, если и только если этот треугольник прямоугольный, и эта сторона является гипотенузой.

Следовательно, треугольник ABC прямоугольный, и гипотенуза BC.

Медиана AD проведена к стороне BC, значит, угол BAC = 90°.

Ответ: в) 90°

5. Решение:

Пусть внешний угол равен $$\alpha$$. Тогда второй внешний угол равен $$4\alpha$$. Внутренний угол, не смежный с ними, равен 60°.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов.

Пусть внутренние углы треугольника $$A$$, $$B$$, $$C=60°$$.

Внешний угол, смежный с $$A$$, равен $$A_в = 180° - A$$.

Внешний угол, смежный с $$B$$, равен $$B_в = 180° - B$$.

Внешний угол, смежный с $$C$$, равен $$C_в = 180° - 60° = 120°$$.

В условии сказано, что один из внешних углов в 4 раза больше другого. Пусть это будут $$A_в$$ и $$B_в$$.

$$B_в = 4 A_в$$.

Также, внешний угол равен сумме двух других внутренних углов. $$A_в = B + C$$ и $$B_в = A + C$$.

\[ B_в = A + 60° \]

\[ A_в = B + 60° \]

И $$A + B + 60° = 180°$$, откуда $$A + B = 120°$$.

Подставим $$A = 120° - B$$ в уравнение для $$B_в$$:

\[ B_в = (120° - B) + 60° = 180° - B \]

Это совпадает с определением внешнего угла.

Теперь используем $$B_в = 4 A_в$$.

\[ 180° - B = 4 (180° - A) \]

\[ 180° - B = 720° - 4A \]

Подставим $$B = 120° - A$$:

\[ 180° - (120° - A) = 720° - 4A \]

\[ 180° - 120° + A = 720° - 4A \]

\[ 60° + A = 720° - 4A \]

\[ 5A = 720° - 60° \]

\[ 5A = 660° \]

\[ A = \frac{660°}{5} = 132° \]

Тогда $$A_в = 180° - 132° = 48°$$.

$$B = 120° - A = 120° - 132° = -12°$$. Это невозможно.

Пробуем другой вариант: $$A_в$$ и $$C_в$$ или $$B_в$$ и $$C_в$$.

Пусть $$A_в$$ и $$B_в$$ — внешние углы, $$A+B+C=180°$$, $$C=60°$$. $$A+B=120°$$.

Внешний угол, смежный с $$C$$, равен $$120°$$.

Если один внешний угол $$4 \times 120° = 480°$$ — невозможно.

Пусть один внешний угол $$X$$, другой $$4X$$. Третий внутренний угол $$60°$$.

Пусть $$X$$ — внешний угол, смежный с $$A$$. $$X = B+C = B+60°$$.

Пусть $$4X$$ — внешний угол, смежный с $$B$$. $$4X = A+C = A+60°$$.

Также $$A+B+C=180°$$, $$A+B+60°=180°$$, $$A+B=120°$$.

Подставим $$B = X-60°$$ и $$A = 4X-60°$$ в $$A+B=120°$$.

\[ (4X - 60°) + (X - 60°) = 120° \]

\[ 5X - 120° = 120° \]

\[ 5X = 240° \]

\[ X = 48° \]

Тогда $$4X = 4 \times 48° = 192°$$.

Внешние углы: $$48°$$ и $$192°$$. Разность: $$192° - 48° = 144°$$.

Проверим углы треугольника:

$$A = 4X - 60° = 192° - 60° = 132°$$.

$$B = X - 60° = 48° - 60° = -12°$$. Невозможно.

Значит, $$4X$$ — внешний угол, смежный с $$A$$, а $$X$$ — внешний угол, смежный с $$B$$.

$$4X = B+60°$$

$$X = A+60°$$

$$A+B=120°$$.

Подставим $$A = X-60°$$ и $$B = 4X-60°$$ в $$A+B=120°$$.

\[ (X - 60°) + (4X - 60°) = 120° \]

\[ 5X - 120° = 120° \]

\[ 5X = 240° \]

\[ X = 48° \]

Тогда $$4X = 192°$$.

Внешние углы: 48° и 192°. Их разность $$192° - 48° = 144°$$.

Ответ: в) 144°

6. Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где $$\angle C = 90°$$, $$\angle A = 32°$$.

Тогда $$\angle B = 180° - 90° - 32° = 58°$$.

CH — высота, значит $$\angle CHA = 90°$$.

В треугольнике ACH, $$\angle ACH = 180° - 90° - \angle A = 180° - 90° - 32° = 58°$$.

CO — биссектриса $$\angle ACB$$.

\[ \angle ACO = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{90°}{2} = 45° \]

Нам нужно найти $$\angle HCO$$.

\[ \angle HCO = \angle ACO - \angle ACH \]

\[ \angle HCO = 45° - 58° \]

Здесь есть ошибка, $$\angle ACH$$ больше $$\angle ACO$$. Это означает, что точка H лежит между C и O, или O между C и H. По рисунку, O лежит между C и A, а H лежит на AB.

Рассмотрим треугольник BCH. $$\angle BCH = 90° - \angle B = 90° - 58° = 32°$$.

$$\angle ACO = 45°$$.

$$\angle HCO = \angle ACO - \angle BCH$$.

$$\angle HCO = 45° - 32° = 13°$$.

Ответ: б) 13°