1. В треугольнике два угла равны 31° и 94°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 2. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 36°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах. 3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 5. Какие из следующих утверждений верны? 1. Если три угла одного треугольника равны соответственно трем углам другого треугольника, то такие тре- угольники равны. 2. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. В ответ запишите намера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 6. Отрезки АВ и ОС лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=16, DC-24, AC = 25.

Решение:

1. Третий угол треугольника:

1. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
2. Известны два угла: 31° и 94°.
3. Третий угол = 180° - (31° + 94°) = 180° - 125° = 55°.

Ответ: 55°

2. Угол АВО:

1. Треугольник АОВ равнобедренный, так как ОА и ОВ — радиусы окружности.
2. Угол АОВ = 180° - 36° = 144° (развернутый угол, из которого вычли угол между касательными).
3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: Угол ОАВ = Угол ОВА.
4. Сумма углов в треугольнике АОВ: Угол ОАВ + Угол ОВА + Угол АОВ = 180°.
5. 2 * Угол АВО + 144° = 180°.
6. 2 * Угол АВО = 180° - 144° = 36°.
7. Угол АВО = 36° / 2 = 18°.

Ответ: 18°

3. Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2. Основание (нижняя сторона) = 5.
3. Высота (пунктирная линия) = 4.
4. Площадь = 5 * 4 = 20.

Ответ: 20

4. Расстояние от точки А до прямой ВС:

1. На клетчатой бумаге размер клетки 1 см.
2. Точка А находится на одной вертикали с вершиной квадрата, из которой проведена сторона ВС.
3. Расстояние от точки А до прямой ВС равно длине стороны квадрата, которая соответствует высоте, то есть 4 см.

Ответ: 4 см

5. Верные утверждения:

1. Неверно. Равенство треугольников определяется по трем сторонам и трем углам (первый признак равенства треугольников).
2. Верно. По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
3. Верно. По определению, расстояние от точки до окружности — это расстояние до центра, которое равно радиусу.

Ответ: 23

6. Нахождение МС:

1. Рассмотрим подобные треугольники АВМ и CDM.
2. Так как АВ || DC, то угол ВАМ = угол DCM и угол ABM = угол CDM (как накрест лежащие при параллельных прямых и секущих АС и BD).
3. Угол AMB = угол CMD (как вертикальные).
4. Значит, треугольники АВМ и CDM подобны по двум углам.
5. Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон: AB/DC = AM/MC = BM/MD.
6. Нам дано AB = 16, DC = 24, AC = 25.
7. Отношение подобия k = AB/DC = 16/24 = 2/3.
8. Также AM/MC = 2/3.
9. AC = AM + MC = 25.
10. Пусть AM = 2x, тогда MC = 3x.
11. 2x + 3x = 25.
12. 5x = 25.
13. x = 5.
14. MC = 3x = 3 * 5 = 15.

Ответ: 15