1. В треугольнике, изображенном на рисунке, косинус угла С равен 1/3. Найдите скалярное произведение векторов СА и СВ.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов находится по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \), где \( \alpha \) — угол между векторами.

1. В данном случае векторы — это \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \).
2. Длины векторов равны сторонам треугольника: \( |\vec{CA}| = AC = 11 \) и \( |\vec{CB}| = BC = 6 \).
3. Угол между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \) — это угол \( C \) треугольника. По условию, \( \cos(C) = \frac{1}{3} \).
4. Подставим значения в формулу скалярного произведения:

\[ \vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(C) = 11 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3} = 66 \cdot \frac{1}{3} = 22 \]

Ответ: 22