1. В треугольнике MNK MN = NK, NE — биссектриса, F ∈ NE, NE = 5, MN = 10. Найдите: а) MN⃗ · MK⃗; б) MK⃗ · FN⃗ + KP⃗; в) NE⃗ · KN⃗.

Так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины N, является высотой и медианой, то NE ⟂ MK и E — середина MK.

Найдём длину ME из прямоугольного треугольника MNE: \(ME=\sqrt{MN^2-NE^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\). Поэтому \(MK=2ME=10\sqrt{3}\).

а) Угол между векторами \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\) равен 30°, поэтому \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MK}=10\cdot10\sqrt{3}\cdot\cos30^\circ=150\).

б) Так как F и N лежат на прямой NE, а NE перпендикулярна MK, \(\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{FN}=0\). Однако в записи также стоит \(\overrightarrow{KP}\): точка P в условии не определена, а выражение суммы скалярного произведения и вектора не является скалярным произведением. Для полного ответа нужна уточнённая запись пункта б) или определение точки P.

в) \(\overrightarrow{NE}\) направлен противоположно вертикальной составляющей \(\overrightarrow{KN}\). Угол между ними имеет косинус \(-\frac12\), поэтому \(\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{KN}=5\cdot10\cdot\left(-\frac12\right)=-25\).

Ответ: а) 150; б) запись неоднозначна, \(\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{FN}=0\), но точка P не задана; в) −25.