1. В треугольнике MPK известно, что ∠M = 64°, ∠P = 46°. Укажите верное неравенство: 1) MK > PK; 2) PK > PM; 3) MK > PM; 4) PM > MK. 2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 273), если AD = EC и ∠BDE = ∠BED. 3. В треугольнике DEF известно, что ∠EDF = 68°, ∠DEF = 44°. Биссектриса угла EDF пересекает сторону EF в точке K. Найдите угол DKF. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 64 см. 5. Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). На стороне AB отметили точку K такую, что KM || BC. Докажите, что BK = KM.

Задание 1. Неравенство в треугольнике

Дано:

• Треугольник MPK.
• \( ∠ M = 64^\circ \)
• \( ∠ P = 46^\circ \)

Найти: верное неравенство.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника \( ∠ K \): \( ∠ K = 180^\circ - ∠ M - ∠ P = 180^\circ - 64^\circ - 46^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
2. В треугольнике против наибольшего угла лежит наибольшая сторона, против наименьшего — наименьшая.
3. Углы треугольника: \( ∠ M = 64^\circ \), \( ∠ P = 46^\circ \), \( ∠ K = 70^\circ \).
4. Наибольший угол — \( ∠ K = 70^\circ \). Против него лежит сторона MP.
5. Наименьший угол — \( ∠ P = 46^\circ \). Против него лежит сторона MK.
6. Средний угол — \( ∠ M = 64^\circ \). Против него лежит сторона PK.
7. Таким образом, \( MK < PK < MP \).
8. Рассмотрим предложенные варианты:
• 1) \( MK > PK \) — неверно.
• 2) \( PK > PM \) — неверно.
• 3) \( MK > PM \) — неверно.
• 4) \( PM > MK \) — верно, так как \( ∠ K > ∠ P \).

Ответ: 4) PM > MK.

Задание 2. Доказательство равнобедренности треугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• AD = EC.
• \( ∠ BDE = ∠ BED \) (то есть, треугольник BDE — равнобедренный с основанием BE).

Доказать: Треугольник ABC — равнобедренный.

Доказательство:

1. Из условия \( ∠ BDE = ∠ BED \) следует, что треугольник BDE — равнобедренный, и стороны, лежащие против этих углов, равны: \( BD = BE \).
2. Из условия \( AD = EC \) следует, что \( AB - BD = BC - BE \).
3. Так как \( BD = BE \), то \( AB - BD = BC - BD \).
4. Из этого следует, что \( AB = BC \).
5. Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Что и требовалось доказать.

Задание 3. Угол в треугольнике

Дано:

• Треугольник DEF.
• \( ∠ EDF = 68^\circ \).
• \( ∠ DEF = 44^\circ \).
• DK — биссектриса угла EDF.

Найти: \( ∠ DKF \).

Решение:

1. Найдем угол \( ∠ DFE \) в треугольнике DEF: \( ∠ DFE = 180^\circ - ∠ EDF - ∠ DEF = 180^\circ - 68^\circ - 44^\circ = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \).
2. Так как \( ∠ EDF = ∠ DFE = 68^\circ \), то треугольник DEF — равнобедренный с основанием EF.
3. DK — биссектриса угла EDF, значит, она делит этот угол пополам: \( ∠ EDK = ∠ FDK = \frac{∠ EDF}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник EDK. Углы в этом треугольнике:
• \( ∠ KED = ∠ DEF = 44^\circ \)
• \( ∠ EDK = 34^\circ \)
5. Найдем угол \( ∠ DKF \) (он же \( ∠ EDK \) во внешнем угле к \( ∠ EK D \) или как смежный с \( ∠ EDK \) и \( ∠ KED \) в треугольнике EDK): \( ∠ DKF = 180^\circ - ∠ KED - ∠ EDK = 180^\circ - 44^\circ - 34^\circ = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \).

Ответ: 102°.

Задание 4. Стороны равнобедренного треугольника

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону в отношении 3:2, считая от вершины угла при основании.
• Периметр \( P = 64 \) см.

Найти: стороны треугольника.

Решение:

1. Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна \( a \), а основание — \( b \).
2. Точка касания делит боковую сторону \( a \) на отрезки \( \frac{3}{5}a \) и \( \frac{2}{5}a \).
3. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки, отсекаемые точками касания на боковых сторонах от вершины угла при основании, равны.
4. Значит, боковые стороны равны \( a \), а основание \( b \) состоит из двух отрезков, равных \( \frac{2}{5}a \), то есть \( b = 2 \times \frac{2}{5}a = \frac{4}{5}a \).
5. Периметр треугольника: \( P = a + a + b = 2a + b \).
6. Подставим выражение для \( b \): \( P = 2a + \frac{4}{5}a = \frac{10a + 4a}{5} = \frac{14a}{5} \).
7. По условию \( P = 64 \) см, следовательно: \( \frac{14a}{5} = 64 \).
8. Найдем \( a \): \( a = 64 \times \frac{5}{14} = \frac{320}{14} = \frac{160}{7} \) см.
9. Найдем \( b \): \( b = \frac{4}{5}a = \frac{4}{5} \times \frac{160}{7} = \frac{4 \times 32}{7} = \frac{128}{7} \) см.
10. Проверка периметра: \( 2 \times \frac{160}{7} + \frac{128}{7} = \frac{320 + 128}{7} = \frac{448}{7} = 64 \) см.

Ответ: стороны треугольника равны scfbccc160/7 cm, scfbccc160/7 cm и scfbccc128/7 cm.

Задание 5. Доказательство равенства отрезков

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC).
• BM — медиана.
• K — точка на AB.
• KM || BC.

Доказать: BK = KM.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, то \( ∠ BAC = ∠ BCA \).
2. BM — медиана, значит, M — середина AC.
3. KM || BC.
4. Рассмотрим треугольник ABM. Угол \( ∠ BKM \) — внешний угол треугольника ABC, но это не так.
5. Рассмотрим треугольник ABM. Так как KM || BC, то \( ∠ AKM = ∠ ABC \) (соответственные углы при параллельных прямых KM и BC и секущей AB).
6. Однако, нам нужно доказать BK = KM.
7. Рассмотрим треугольник BKM. Чтобы доказать BK = KM, нам нужно показать, что треугольник BKM — равнобедренный, то есть \( ∠ KBM = ∠ KMB \).
8. Так как KM || BC, то \( ∠ AMK = ∠ MCB \) (накрест лежащие углы при параллельных KM и BC и секущей AC).
9. Поскольку BM — медиана, M — середина AC.
10. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то \( ∠ BAC = ∠ BCA \).
11. Теперь рассмотрим треугольник ABM. Угол \( ∠ AMB \) — смежный с \( ∠ BMC \).
12. Рассмотрим треугольник CBM.
13. Из KM || BC следует, что \( ∠ KMB = ∠ MBC \) (как накрест лежащие углы при параллельных KM и BC и секущей BM).
14. Так как BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB=BC), то BM также является и биссектрисой угла ABC и высотой. Следовательно, \( ∠ ABM = ∠ CBM \).
15. Итак, у нас есть:
• \( ∠ KBM \) — это часть \( ∠ ABM \).
• \( ∠ KMB = ∠ MBC \)
• \( ∠ ABM = ∠ CBM \)
16. Из \( ∠ KMB = ∠ MBC \) и \( ∠ ABM = ∠ CBM \) следует, что \( ∠ KMB = ∠ ABM \).
17. Но \( ∠ KBM \) — это \( ∠ ABM \) минус \( ∠ KBM \) (неправильно). \( ∠ KBM \) = \( ∠ ABM \).
18. Поскольку \( ∠ KMB = ∠ MBC \) и \( ∠ ABM = ∠ CBM \), и \( ∠ CBM = ∠ MBC \) (так как M лежит на AC, а BM — медиана), то \( ∠ KMB = ∠ ABM \).
19. В треугольнике ABM, \( ∠ BKM = ∠ KBM \) (неверно).
20. Переформулируем: \( ∠ KMB = ∠ MBC \).
21. Также, так как BM — биссектриса \( ∠ ABC \), то \( ∠ ABM = ∠ CBM \).
22. Следовательно, \( ∠ KMB = ∠ ABM \).
23. Но \( ∠ KBM \) — это просто \( ∠ ABM \).
24. В треугольнике BKМ, \( ∠ KBM = ∠ ABM \). \( ∠ BKM \) — внешний угол треугольника AKM.
25. У нас есть \( ∠ KMB = ∠ MBC \).
26. И \( ∠ ABM = ∠ CBM \).
27. Поскольку \( ∠ ABM \) и \( ∠ CBM \) являются частями \( ∠ ABC \), и \( ∠ ABM = ∠ CBM \) (BM - биссектриса).
28. Из KM || BC, мы знаем, что \( ∠ KMB = ∠ MBC \) (накрест лежащие).
29. Поскольку \( ∠ ABM = ∠ CBM \) и \( ∠ KMB = ∠ MBC \), то \( ∠ KMB = ∠ ABM \).
30. Это означает, что в треугольнике ABM, \( ∠ KMB = ∠ ABM \).
31. Но \( ∠ KBM \) — это тот же угол, что и \( ∠ ABM \).
32. Так как \( ∠ KMB = ∠ ABM \), то треугольник BKM равнобедренный с основанием BM. Следовательно, стороны, лежащие против равных углов, равны: \( BK = KM \).

Что и требовалось доказать.