1. В треугольнике MPK известно, что ∠M = 64°, ∠P = 46°. Укажите верное неравенство: 1) MK > PK; 2) PK > PM; 3) MK > PM; 4) PM > MK.

Решение:

Сначала найдём третий угол в треугольнике MPK. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\( \angle K = 180° - \angle M - \angle P \)

\( \angle K = 180° - 64° - 46° = 180° - 110° = 70° \)

Теперь сравним углы и противолежащие им стороны:

• \( \angle M = 64° \), противолежащая сторона — PK.
• \( \angle P = 46° \), противолежащая сторона — MK.
• \( \angle K = 70° \), противолежащая сторона — MP.

Самый большой угол — \( \angle K = 70° \), значит, ему противолежит самая большая сторона — MP.

Самый маленький угол — \( \angle P = 46° \), значит, ему противолежит самая маленькая сторона — MK.

Сравним стороны MK и PM. Угол, противолежащий MK, равен \( \angle P = 46° \). Угол, противолежащий PM, равен \( \angle K = 70° \). Так как \( \angle P < \angle K \), то \( MK < PM \).

Сравним стороны PK и PM. Угол, противолежащий PK, равен \( \angle M = 64° \). Угол, противолежащий PM, равен \( \angle K = 70° \). Так как \( \angle M < \angle K \), то \( PK < PM \).

Из полученных неравенств \( MK < PM \) и \( PK < PM \) видим, что сторона PM является самой большой.

Теперь сравним MK и PK. Угол, противолежащий MK, равен \( \angle P = 46° \). Угол, противолежащий PK, равен \( \angle M = 64° \). Так как \( \angle P < \angle M \), то \( MK < PK \).

Таким образом, \( MK < PK < PM \). Наибольшей стороне PM противолежит наибольший угол \( \angle K \). Наименьшей стороне MK противолежит наименьший угол \( \angle P \).

Среди предложенных вариантов:

• 1) MK > PK — неверно, так как \( MK < PK \).
• 2) PK > PM — неверно, так как \( PK < PM \).
• 3) MK > PM — неверно, так как \( MK < PM \).
• 4) PM > MK — верно, так как \( PM \) — самая большая сторона, а \( MK \) — самая маленькая.

Ответ: 4) PM > MK.