1. В треугольнике TKN TK = 9, KN = 40, TN = 41. а) Докажите, что треугольник TKN прямоугольный. б) Найдите cos ∠T. в) Найдите ∠T.

1. Проверим обратную теорему Пифагора: \(TK^2+KN^2=9^2+40^2=81+1600=1681=41^2=TN^2\). Значит, треугольник прямоугольный, причём гипотенуза — TN, а прямой угол — K.

2. Для угла T прилежащий катет — TK, гипотенуза — TN. Поэтому \(\cos T=\frac{TK}{TN}=\frac{9}{41}\).

3. \(\angle T=\arccos\left(\frac{9}{41}\right)\approx 77.32^\circ\).

Ответ: а) треугольник прямоугольный, \(\angle K=90^\circ\); б) \(\cos T=\frac{9}{41}\); в) \(\angle T\approx77.32^\circ\).