№1. В треугольной пирамиде SABC отмечены точки K — середина AB и M — середина SC. Известно, что AS = 8, BC = 6, KM = 5. Найдите угол между прямыми AS и BC.

Обозначим векторы отрезков через [0m\(\overrightarrow{AS}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Поскольку K и M — середины указанных рёбер,

\(2\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BC}\).

По формуле квадрата длины суммы векторов:

\(4KM^2=AS^2+BC^2+2\cdot AS\cdot BC\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол между направлениями этих векторов.

Подставим данные: \(4\cdot5^2=8^2+6^2+2\cdot8\cdot6\cos\varphi\).

\(100=100+96\cos\varphi\), значит, \(\cos\varphi=0\) и \(\varphi=90^\circ\).

Ответ: прямые AS и BC перпендикулярны; угол между ними равен 90°.