1. В выпуклом четырехугольнике MPKH ∠M + ∠P = 180°, ∠MKH = ∠KMP. На сторонах MH и PK отмечены точки A и B так, что PB = PA. Отрезок AB проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника. Докажите, что HP ⟂ AB.

Так как внутренние односторонние углы при прямых MH и PK и секущей MP в сумме равны 180°, то MH ∥ PK.

Из равенства ∠MKH = ∠KMP следует, что прямые KH и MP параллельны: это накрест лежащие углы при секущей MK.

Следовательно, MPKH — параллелограмм. Обозначим через O точку пересечения его диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина отрезка HP.

Поскольку A и B лежат на параллельных сторонах MH и PK, из условия, что A, O и B лежат на одной прямой, следует, что O — середина AB. Значит, четырехугольник PAHB, у которого диагонали AB и PH делятся пополам в точке O, — параллелограмм. Поэтому PB ∥ AH и PB = AH.

По условию PB = PA, следовательно, PA = AH. Треугольник PAH равнобедренный с основанием PH. В параллелограмме PAHB соседние углы при вершинах A и H дополнительны, а из PA = AH следует, что эти углы равны. Значит, каждый из них прямой, и PA ⟂ AH.

Так как PA ∥ HB и AH ∥ PB, а AB проходит через середины диагоналей, из равенства PA = AH получаем, что диагонали AB и PH перпендикулярны. Итак, HP ⟂ AB.

Ответ: HP ⟂ AB.