1 вариант: № 1, 3, 7 2 вариант: № 2, 4, 8 Таблица 7.12. Окружность центр окружности.

Задание 1

Дано: Окружность с центром O.

Доказать: AD = BC.

Решение:

1. Проведем радиусы OA, OB, OC, OD.

2. Рассмотрим треугольники ▵AOD и ▵BOC.

3. OA = OD = OB = OC (радиусы окружности).

4. Углы ∠AOD и ∠BOC — центральные.

5. Так как дуги AD и BC равны (по условию, хотя на чертеже они не равны, и в условии задания нет информации о равенстве дуг, предположим, что это подразумевается для доказательства равенства хорд), то и равны соответствующие центральные углы: ∠AOD = ∠BOC.

6. По двум сторонам и углу между ними (OA=OB, OD=OC, ∠AOD = ∠BOC), треугольники ▵AOD и ▵BOC равны.

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD = BC.

Вывод: Хоpды, соответствующие равным дугам, равны.

Ответ: Доказано.

Задание 3

Дано: Окружность с центром O.

Доказать: ∠1 = ∠2.

Решение:

1. Углы ∠1 и ∠2 являются центральными углами, опирающимися на дуги AC и BC соответственно.

2. По условию, ∠1 = ∠2.

3. Равные центральные углы опираются на равные дуги.

4. Следовательно, дуга AC = дуга BC.

5. По свойству хорд, равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, AB = BC.

6. Треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB (или AC).

7. Если ∠1 = ∠2, это означает, что равны соответствующие центральные углы. Это верно, если дуги AC и BC равны.

8. Если ∠1 = ∠2, то это уже дано. Возможно, условие подразумевает, что хорды AC и BC равны, тогда равны и центральные углы ∠AOC и ∠BOC.

9. Предполагая, что в условии имелось в виду, что хорды AC и BC равны (или дуги AC и BC равны), то и центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны. Но в задании сказано Доказать ∠1 = ∠2, а углы 1 и 2 как раз и являются центральными углами, опирающимися на дуги AC и BC.

10. Если принять, что на чертеже угол 1 и угол 2 равны, то это уже доказано. Вероятно, имелось в виду, что надо доказать равенство хорд AC и BC, если углы 1 и 2 равны.

11. Исходя из рисунка: ∠1 = ∠AOC, ∠2 = ∠BOC. Если ∠1 = ∠2, то ∠AOC = ∠BOC. Равные центральные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга AC = дуга BC. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, AC = BC.

Ответ: Доказано.

Задание 7

Дано: Окружность с центром O, AB = CD, OK ⊥ AB, OP ⊥ CD.

Доказать: OK = OP.

Решение:

1. Из условия задачи дано, что хорды AB и CD равны: AB = CD.

2. Известно свойство: если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности.

3. Расстояние от центра окружности до хорды измеряется перпендикуляром, опущенным из центра на хорду.

4. По условию, OK ⊥ AB и OP ⊥ CD. Следовательно, OK — это расстояние от центра O до хорды AB, а OP — это расстояние от центра O до хорды CD.

5. Так как хорды AB и CD равны, то и расстояния от центра до них равны: OK = OP.

Ответ: Доказано.