1 вариант. 1. Используя правило многоугольника, упростите выражение: а) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD}\); б) \((\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{CB})-(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{CE})\). 2. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая составляет с большим основанием угол 45°. Найдите основания трапеции, если её средняя линия равна 20 см.

1а) Заменим вычитание вектора сложением противоположного и сгруппируем слагаемые по правилу многоугольника:

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}.\)

1б) Сначала объединим векторы в скобках:

\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\)

\(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{MC}.\)

Тогда \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}.\)

2. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции — её высота: \(h=12\) см. Большая боковая сторона образует с большим основанием угол 45°, поэтому разность оснований равна горизонтальной проекции этой стороны, то есть высоте: \(B-b=12\).

По формуле средней линии \((B+b)/2=20\), откуда \(B+b=40\). Решаем систему: \(B=(40+12)/2=26\) см, \(b=(40-12)/2=14\) см.

Ответ: 1а) \(\overrightarrow{AK}\); 1б) \(\overrightarrow{AM}\); 2. основания 26 см и 14 см.