1 вариант. 1. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а образующая равна 7 см. 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 3 см, а высота равна 4 см. 3. Найдите площадь полной поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а образующая равна 6 см. 4. Найдите площадь осевого сечения конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а высота равна 6 см. 5. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса, если угол между образующими в сечении равен 30° и образующая равна 5 см. 6. Найдите высоту конуса, если радиус основания конуса равен 6 см, а площадь боковой поверхности равна 60π см². 7. Площадь основания конуса 36π. Высота равна 3. Найдите площадь осевого сечения конуса. 8. Длина окружности основания конуса равна 3π. Образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 9. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 2 раза, а образующая останется прежней?

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=\pi rl\).

Подставим \(r=2\) см и \(l=7\) см: \(S_{бок}=\pi\cdot2\cdot7=14\pi\text{ см}^2\).

Сначала найдём образующую по теореме Пифагора: \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) см.

Тогда \(S_{бок}=\pi rl=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\text{ см}^2\).

Полная площадь равна сумме площадей основания и боковой поверхности: \(S_{полн}=\pi r^2+\pi rl\).

\(S_{полн}=\pi\cdot2^2+\pi\cdot2\cdot6=4\pi+12\pi=16\pi\text{ см}^2\).

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием \(2r=4\) см и высотой \(h=6\) см.

\(S=\frac12\cdot4\cdot6=12\text{ см}^2\).

Сечение — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 5 см и углом между ними \(30^\circ\). Используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

\(S=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin30^\circ=\frac{25}{4}\text{ см}^2\).

Из формулы боковой площади \(S_{бок}=\pi rl\) находим образующую:

\(l=\frac{60\pi}{\pi\cdot6}=10\) см.

Высоту находим из \(l^2=r^2+h^2\): \(h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\) см.

Из площади основания \(\pi r^2=36\pi\) получаем \(r=6\). Осевое сечение имеет основание \(2r=12\) и высоту 3.

\(S=\frac12\cdot12\cdot3=18\).

По длине окружности основания \(2\pi r=3\pi\), поэтому \(r=\frac32\). Тогда

\(S_{бок}=\pi rl=\pi\cdot\frac32\cdot2=3\pi\).

Площадь боковой поверхности равна \(\pi rl\). Если радиус заменить на \(r/2\), а образующую оставить прежней, площадь станет \(\pi\cdot(r/2)\cdot l\), то есть вдвое меньше.

Ответ: 1) \(14\pi\text{ см}^2\); 2) \(15\pi\text{ см}^2\); 3) \(16\pi\text{ см}^2\); 4) \(12\text{ см}^2\); 5) \(\frac{25}{4}\text{ см}^2\); 6) 8 см; 7) 18; 8) \(3\pi\); 9) в 2 раза.