1 вариант. 1. Найдите площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. 2. В параллелограмме две стороны равны 12 и 16 см, а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 3. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Найдите площадь трапеции. 4. В треугольнике ABC прямая MN, параллельная стороне AC, делит сторону BC на отрезки BN = 5 см и NC = 5 см; AC = 15 см. Найдите длину отрезка MN. 5. Дан прямоугольный треугольник ABC, у которого C — прямой угол, катет BC = 6 см и ∠A = 60°. Найдите: а) остальные стороны ΔABC; б) площадь ΔABC; в) длину высоты, опущенной из вершины C.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам: половина основания равна 6 см. По теореме Пифагора высота равна \(\sqrt{10^2-6^2}=8\) см. Тогда площадь: \(S=\frac12\cdot12\cdot8=48\) см².

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: \(S=12\cdot16\cdot\sin150^\circ=192\cdot\frac12=96\) см².

Разность оснований равна 10 см, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 5 см. Высота: \(h=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см. Площадь: \(S=\frac{10+20}{2}\cdot12=180\) см².

Так как \(MN\parallel AC\), треугольники BMN и BAC подобны. При этом \(BC=BN+NC=10\) см, поэтому \(\frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}=\frac{5}{10}\). Следовательно, \(MN=15\cdot\frac12=7.5\) см.

а) В прямоугольном треугольнике \(\angle B=30^\circ\). Катет BC, лежащий напротив угла 60°, равен \(6\) см. Поэтому гипотенуза \(AB=\frac{BC}{\sin60^\circ}=4\sqrt3\) см, а второй катет \(AC=AB\sin30^\circ=2\sqrt3\) см.

б) \(S=\frac12\cdot BC\cdot AC=\frac12\cdot6\cdot2\sqrt3=6\sqrt3\) см².

в) Пусть высота из C равна h. Из равенства площадей \(\frac12 AB\cdot h=6\sqrt3\) получаем \(h=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3}=3\) см.