1 вариант. 1. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если периметр равен 20 см, а сторона AB меньше BC на 2 см. 2. Найдите углы параллелограмма ACBD, если известно, что угол A меньше угла B в 2 раза. 3. Найдите углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 100°. 4. Найдите диагональ прямоугольника ABCD, если ∠CAD = 30°, CD = 4 см.

1. Пусть AB = x см, тогда BC = x + 2 см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому 2(x + x + 2) = 20. Отсюда 4x + 4 = 20, x = 4. Значит, AB = CD = 4 см, BC = AD = 6 см.

2. В условии вершины записаны как ACBD: при таком порядке A и B — противоположные вершины параллелограмма, поэтому углы A и B равны. Это не согласуется с условием, что угол A вдвое меньше угла B. Если имеется в виду параллелограмм ABCD, то углы A и B смежные: пусть ∠A = x, ∠B = 2x. Тогда 3x = 180°, откуда x = 60°. Противоположные углы равны.

Ответ при предположении, что имелось в виду ABCD: ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°. При буквальном порядке ACBD условие противоречиво.

3. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы в сумме дают 180°. Если один угол равен 100°, то два угла равны 100°, а два других — 180° − 100° = 80°.

Ответ: 100°, 100°, 80°, 80°.

4. Треугольник ACD прямоугольный, ∠D = 90°. Так как ∠CAD = 30°, сторона CD, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы AC. Поэтому AC = 2 · CD = 2 · 4 = 8 см.

Ответ: диагональ AC равна 8 см.