1 вариант. 1) Найти площадь треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. 2) Найти площадь выпуклого четырёхугольника, если его диагонали 12 см и 14 см, а угол между ними 45°. 3) Две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, угол между ними 60°. Найти третью сторону треугольника и его площадь. 4) В треугольнике ABC AC = 0,59 дм, ∠A = 40°, ∠C = 35°. Вычислить BC. 5) Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найти наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей. 6) (дополн.) Острый угол ромба равен 45°, а его площадь равна [числовые данные обрезаны] см². Найти сторону ромба. 7) (дополн.) Найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при основании 15°.

Полупериметр: \(p=(5+5+6)/2=8\) см. По формуле Герона: \(S=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12\) см².

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними: \(S=\frac12\cdot12\cdot14\cdot\sin45^\circ=42\sqrt2\) см².

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\): \(c^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos60^\circ=21\), значит \(c=\sqrt{21}\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot5\cdot4\sin60^\circ=5\sqrt3\) см².

\(\angle B=180^\circ-40^\circ-35^\circ=105^\circ\). По теореме синусов: \(BC=AC\cdot\frac{\sin40^\circ}{\sin105^\circ}=5.9\cdot\frac{\sin40^\circ}{\sin105^\circ}\approx3.91\) дм.

Полупериметр: \(p=(10+17+21)/2=24\) см. Площадь по формуле Герона: \(S=\sqrt{24\cdot14\cdot7\cdot3}=84\) см². Наибольшая высота опущена на наименьшую сторону 10 см: \(h=2S/10=16.8\) см.

Радиус вписанной окружности: \(r=S/p=84/24=3.5\) см. Радиус описанной окружности: \(R=abc/(4S)=10\cdot17\cdot21/(4\cdot84)=10.625\) см.

Пусть площадь ромба равна \(S\) см², а сторона — \(a\). Тогда \(S=a^2\sin45^\circ\), поэтому \(a=\sqrt{S/\sin45^\circ}=\sqrt{S\sqrt2}\) см. Числовой результат определить нельзя: значение площади на изображении обрезано. Пришлите фрагмент с этим числом.

Углы при основании равны по 15°, поэтому угол между равными боковыми сторонами равен \(180^\circ-2\cdot15^\circ=150^\circ\). Площадь: \(S=\frac12\cdot6\cdot6\sin150^\circ=9\) см².