1 вариант: 1. Найти стационарные точки функции: f(x) = x³ + 1,5x² – 18x + 7 2. Найти экстремумы функции: f(x) = 3x⁴ + 12x³ - 60x² + 27 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции: f(x) = 3x³ - 4,5x² - 18x + 5 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [0; 3], если f(x) = 2x³ - 9x² + 1 5. Построить график функции f(x) = x⁴ - 4x³ + 17

1 вариант:

1. Стационарные точки

   Для нахождения стационарных точек, приравняем производную функции к нулю:

   f'(x) = 3x² + 3x - 18

   3x² + 3x - 18 = 0

   x² + x - 6 = 0

   D = 1² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25

   x₁ = (-1 + 5)/2 = 2

   x₂ = (-1 - 5)/2 = -3

   Ответ: x = 2, x = -3

2. Экстремумы функции

   Найдем производную функции:

   f'(x) = 12x³ + 36x² - 120x

   Приравняем производную к нулю:

   12x³ + 36x² - 120x = 0

   12x(x² + 3x - 10) = 0

   x₁ = 0

   x² + 3x - 10 = 0

   D = 3² - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49

   x₂ = (-3 + 7)/2 = 2

   x₃ = (-3 - 7)/2 = -5

   Исследуем знаки производной:

   • При x < -5: f'(x) < 0 (убывает)
   • При -5 < x < 0: f'(x) > 0 (возрастает)
   • При 0 < x < 2: f'(x) < 0 (убывает)
   • При x > 2: f'(x) > 0 (возрастает)

   Экстремумы:

   • x = -5 (минимум)
   • x = 0 (максимум)
   • x = 2 (минимум)

   Ответ: Минимумы в x = -5 и x = 2, максимум в x = 0.

3. Интервалы возрастания и убывания

   Производная функции:

   f'(x) = 9x² - 9x - 18

   Приравняем к нулю:

   9x² - 9x - 18 = 0

   x² - x - 2 = 0

   D = (-1)² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

   x₁ = (1 + 3)/2 = 2

   x₂ = (1 - 3)/2 = -1

   Исследуем знаки производной:

   • При x < -1: f'(x) > 0 (возрастает)
   • При -1 < x < 2: f'(x) < 0 (убывает)
   • При x > 2: f'(x) > 0 (возрастает)

   Ответ: Возрастает на (-∞; -1] ∪ [2; +∞), убывает на [-1; 2].

4. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0; 3]

   Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри отрезка.

   Критические точки: x = 2 (из п.1)

   f(0) = 2(0)³ - 9(0)² + 1 = 1

   f(2) = 2(2)³ - 9(2)² + 1 = 2(8) - 9(4) + 1 = 16 - 36 + 1 = -19

   f(3) = 2(3)³ - 9(3)² + 1 = 2(27) - 9(9) + 1 = 54 - 81 + 1 = -26

   Ответ: Наибольшее значение = 1, наименьшее значение = -26.

5. Построить график функции f(x) = x⁴ - 4x³ + 17

   Для построения графика найдем производную и стационарные точки:

   f'(x) = 4x³ - 12x²

   4x³ - 12x² = 0

   4x²(x - 3) = 0

   x₁ = 0 (кратность 2), x₂ = 3

   f(0) = 17

   f(3) = 3⁴ - 4(3)³ + 17 = 81 - 4(27) + 17 = 81 - 108 + 17 = -10

   Исследуем знаки производной:

   • При x < 3 (кроме x=0): f'(x) < 0 (убывает)
   • При x > 3: f'(x) > 0 (возрастает)

   Точка (0, 17) - точка перегиба с горизонтальной касательной. Точка (3, -10) - минимум.

   График не может быть построен в текстовом формате.