1 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 40 см, а сторона AB больше BC на 4 см. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A больше угла B в 3 раза. 3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 75°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠CAD = 30°, CD = 4 см. 5. В ромбе ABCD угол A равен 60°. Диагонали ромба пересекаются в точке O. Найти углы треугольника BOC.

Пусть BC = x см, тогда AB = x + 4 см. Периметр параллелограмма: 2(AB + BC) = 40, значит AB + BC = 20.

x + 4 + x = 20; 2x = 16; x = 8. Тогда BC = AD = 8 см, AB = CD = 12 см.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Пусть ∠B = x, тогда ∠A = 3x.

3x + x = 180°; x = 45°. Значит, ∠B = ∠D = 45°, ∠A = ∠C = 135°.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне supplementary — в сумме дают 180°. Если один угол равен 75°, то два угла равны 75°, а два других равны 180° − 75° = 105°.

Диагональ AC — гипотенуза прямоугольного треугольника ACD, а CD = 4 см — катет, лежащий напротив угла ∠CAD = 30°.

sin 30° = CD / AC, поэтому AC = 4 / 0,5 = 8 см. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, AC = BD = 8 см.

В ромбе противоположные углы равны, а соседние — supplementary. Поэтому ∠B = 120°. Диагональ BD делит угол B пополам, значит, ∠OBC = 60°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠BOC = 90°. Тогда ∠BCO = 180° − 60° − 90° = 30°.

Ответ: 1) стороны 12 см и 8 см; 2) 135°, 45°, 135°, 45°; 3) 75°, 75°, 105°, 105°; 4) обе диагонали по 8 см; 5) ∠OBC = 60°, ∠BOC = 90°, ∠BCO = 30°.