1 вариант. 1. При каких значениях x функция y = −2x² + 5x + 3 принимает значение, равное −4? 2. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. Используя график функции, найдите: а) наименьшее значение функции; б) значения аргумента, при которых значение функции равно 5; в) значения x, при которых функция принимает отрицательные значения; г) промежутки возрастания функции. 3. Не выполняя построения графика функции y = −5x² + 6x, найдите её наибольшее или наименьшее значение. 4. Найдите координаты вершины параболы y = x² − 4 и постройте её график. 5. Проходит ли график функции y = x² − 5x − 3 через точку M(−1; 3)?

1. Приравняем функцию к −4:

−2x² + 5x + 3 = −4, откуда 2x² − 5x − 7 = 0.

D = 25 + 56 = 81, поэтому x = (5 ± 9)/4. Получаем x = −1 или x = 3.

Ответ: x = −1 и x = 3.

2. Преобразуем функцию, чтобы определить вершину параболы: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4. Вершина — (1; −4), ветви направлены вверх.

а) Наименьшее значение функции равно −4.

б) Для y = 5: (x − 1)² − 4 = 5, значит (x − 1)² = 9 и x = −2 или x = 4.

в) Нули функции: x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) = 0, то есть −1 и 3. Парабола направлена вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между нулями: −1 < x < 3.

г) Парабола возрастает справа от вершины: (1; +∞).

На графике вершина находится в точке (1; −4); пересечения с осью x — (−1; 0) и (3; 0).

3. Коэффициент при x² отрицательный, поэтому парабола имеет наибольшее значение. Абсцисса вершины: x = −b/(2a) = −6/(−10) = 3/5. Подставим: y = −5·(3/5)² + 6·(3/5) = 9/5.

Ответ: наибольшее значение равно 9/5.

4. В функции y = x² − 4 вершина параболы — (0; −4), ветви направлены вверх.

5. Подставим координату x = −1: y = (−1)² − 5·(−1) − 3 = 1 + 5 − 3 = 3. Полученное значение совпадает с ординатой точки M.

Ответ: да, график проходит через точку M(−1; 3).