1 вариант. 1) Решите уравнения: а) $3^{x^2-x}=9$; б) $\left(\frac25\right)^x=\left(\frac52\right)^4$; в) $2^x\cdot5^{x+2}=2500$; г) $2^{x-1}+2^{x+2}=36$. 2) Решите неравенства: а) $5^{1-2x}\le\frac1{125}$; б) $3^{x^2+1}\ge\left(\frac13\right)^{1+x}$; в) $3^{x-1}+3^x<36$; г) $2^{1+2x}-21\cdot\left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1 вариант. 1) Решите уравнения: а) $3^{x^2-x}=9$; б) $\left(\frac25\right)^x=\left(\frac52\right)^4$; в)…$ Фото задания

1 вариант. 1) Решите уравнения: а) $3^{x^2-x}=9$; б) $\left(\frac25\right)^x=\left(\frac52\right)^4$; в) $2^x\cdot5^{x+2}=2500$; г) $2^{x-1}+2^{x+2}=36$. 2) Решите неравенства: а) $5^{1-2x}\le\frac1{125}$; б) $3^{x^2+1}\ge\left(\frac13\right)^{1+x}$; в) $3^{x-1}+3^x<36$; г) $2^{1+2x}-21\cdot\left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge0$.

Accepted Answer

1) Уравнения

а) $9=3^2$, поэтому $x^2-x=2$. Получаем $(x-2)(x+1)=0$, откуда $x=2$ или $x=-1$.
б) $\left(\frac52\right)^4=\left(\frac25\right)^{-4}$. Основания одинаковы и не равны 1, значит $x=-4$.
в) $2^x\cdot5^{x+2}=25\cdot10^x=2500$, поэтому $10^x=100=10^2$, откуда $x=2$.
г) $2^{x-1}(1+2^3)=36$, то есть $9\cdot2^{x-1}=36$. Тогда $2^{x-1}=4=2^2$, поэтому $x=3$.

2) Неравенства

а) Основание 5 больше 1, значит сравниваем показатели: $1-2x\le-3$. Отсюда $x\ge2$.
б) Перепишем правую часть: $\left(\frac13\right)^{1+x}=3^{-1-x}$. Следовательно, $x^2+1\ge-1-x$, или $x^2+x+2\ge0$. Дискриминант равен $-7$, а коэффициент при $x^2$ положителен; неравенство верно при всех действительных $x$.
в) Пусть $t=3^x>0$. Тогда $\frac t3+t<36$, откуда $t<27=3^3$. Значит, $x<3$.
г) Обозначим $y=2^{2x}>0$. Тогда $2y-\frac{21}{8y}+2\ge0$. Умножаем на положительное $8y$: $16y^2+16y-21\ge0$. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $-\frac74$ и $\frac34$; с учётом $y>0$ получаем $y\ge\frac34$. Значит, $2^{2x}\ge\frac34$, то есть $x\ge\frac12\log_2\frac34$.

Ответ: 1) а) $x=-1, 2$; б) $x=-4$; в) $x=2$; г) $x=3$. 2) а) $[2; +\infty)$; б) $\mathbb R$; в) $( -\infty; 3)$; г) $\left[\frac12\log_2\frac34; +\infty\right)$.