1 вариант. 1. Сумма трёх углов параллелограмма равняется 280°. Определите градусную меру большего угла этого параллелограмма. 2. Какие из приведённых утверждений являются правильными? I. Диагонали любого ромба делят его углы пополам. II. Диагонали любого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. III. Диагонали любого квадрата перпендикулярны. А. только I и II; Б. только I и III; В. только II; Г. только II и III. 3. На рисунке изображён квадрат ABCD и треугольник BKC, периметры которых соответственно равняются 24 см и 20 см. Найдите периметр пятиугольника ABKCD. 4. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 2. 5. Диагональ прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.

1. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Четвёртый угол равен 360° − 280° = 80°. В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, поэтому больший угол равен 180° − 80° = 100°.

2. I — верно: диагонали ромба делят его углы пополам. II — неверно: это свойство диагоналей параллелограмма, но не любого четырёхугольника. III — верно: диагонали квадрата перпендикулярны. Правильный выбор — Б, только I и III.

3. Сторона квадрата: 24 : 4 = 6 см, значит, BC = 6 см. Периметр пятиугольника складывается из периметров квадрата и треугольника, но общая сторона BC входит в эту сумму дважды, а в пятиугольник не входит: 24 + 20 − 2 · 6 = 32 см.

4. Пусть AB = a, AD = b. Если биссектрисы углов A и D пересекаются на BC, из условия пересечения следует b = 2a. Тогда при AB = 2 получаем AD = 4. Периметр: 2(AB + AD) = 2(2 + 4) = 12.

5. Диагонали прямоугольника образуют с одной и той же стороной равные по величине углы, расположенные по разные стороны от неё. Поэтому острый угол между диагоналями равен 180° − 2 · 86° = 8°.

Ответ: 1) 100°; 2) Б; 3) 32 см; 4) 12; 5) 8°.