1. Вариант I. Отрезок AB не пересекает плоскость α. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её в точках A₁ и B₁ соответственно. Найдите AB, если A₁B₁ = 12 см, AA₁ = 6 см, BB₁ = 11 см. Вариант II. Отрезок AB не пересекает плоскость α. Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её в точках A₁ и B₁ соответственно. Найдите A₁B₁, если AB = 13 см, AA₁ = 3 см, BB₁ = 8 см.

Вариант I.

Так как прямые AA₁ и BB₁ перпендикулярны одной плоскости, они параллельны. Разность расстояний точек A и B от плоскости равна \(BB_1-AA_1=11-6=5\) см. Поэтому

\(AB^2=A_1B_1^2+(BB_1-AA_1)^2=12^2+5^2=169\),

\(AB=13\) см.

Вариант II.

Разность расстояний точек A и B от плоскости равна \(BB_1-AA_1=8-3=5\) см. По теореме Пифагора

\(A_1B_1^2=AB^2-(BB_1-AA_1)^2=13^2-5^2=144\),

\(A_1B_1=12\) см.

Ответ: вариант I — 13 см; вариант II — 12 см.