1 вариант \(\sqrt{2}\cos 4x - 1 = 0 \cos \left\(\frac{\pi}{3} - 3x\right\) = \(\frac{1}{2}\) - 2 \(\cos\) x = 0 -\(\sqrt{3}\)\(\operatorname{ctg}\)\(\frac{x}{4}\) = 3

Решение:

1. \(\sqrt{2}\cos 4x - 1 = 0\)

1. Перенесём 1 в правую часть: \(\sqrt{2}\cos 4x = 1\).
2. Разделим обе части на \(\sqrt{2}\): \(\cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
3. Приведём к стандартному виду: \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
4. Найдём корни уравнения \(\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \(t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
5. Подставим \(4x\) вместо \(t\): \(4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k\).
6. Разделим обе части на 4: \(x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

2. \(\cos \left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \frac{1}{2}\)

1. Найдём корни уравнения \(\cos t = \frac{1}{2}\): \(t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Подставим \(\frac{\pi}{3} - 3x\) вместо \(t\): \(\frac{\pi}{3} - 3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\).
3. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \(\frac{\pi}{3} - 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
• \(-3x = 2\pi n\)
• \(x = -\frac{2\pi n}{3}\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
• Случай 2: \(\frac{\pi}{3} - 3x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
• \(-3x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\)
• \(3x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi n\)
• \(x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi n}{3}\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

3. \(- 2 \cos x = 0\)

1. Разделим обе части на -2: \(\cos x = 0\).
2. Найдём корни уравнения \(\cos x = 0\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

4. \(-\sqrt{3}\operatorname{ctg}\frac{x}{4} = 3\)

1. Разделим обе части на -\(\sqrt{3}\): \(\operatorname{ctg}\frac{x}{4} = -\frac{3}{\sqrt{3}}\).
2. Приведём к стандартному виду: \(\operatorname{ctg}\frac{x}{4} = -\sqrt{3}\).
3. Найдём корни уравнения \(\operatorname{ctg} t = -\sqrt{3}\): \(t = \frac{5\pi}{6} + \pi p\), где \(p \in \mathbb{Z}\).
4. Подставим \(\frac{x}{4}\) вместо \(t\): \(\frac{x}{4} = \frac{5\pi}{6} + \pi p\).
5. Умножим обе части на 4: \(x = \frac{20\pi}{6} + 4\pi p\).
6. Упростим: \(x = \frac{10\pi}{3} + 4\pi p\), где \(p \in \mathbb{Z}\).

Ответ: 1) \(x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\); 2) \(x = -\frac{2\pi n}{3}\) или \(x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbb{Z}\); 3) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\), \(m \in \mathbb{Z}\); 4) \(x = \frac{10\pi}{3} + 4\pi p\), \(p \in \mathbb{Z}\).