1 вариант 1. Из точки К к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся окружности в точках М и N. Найдите КМ и КN, если ОМ=9см, <МКN=120°. 2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром в точке А и радиусом, равным ОС.

1 вариант

1. Дано:

   • Окружность с центром О.
   • КМ и KN – касательные к окружности.
   • М и N – точки касания.
   • ОМ = 9 см (радиус).
   • <MK N = 120°.

   Найти: КМ и KN.

   Решение:

   По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, КМ = KN.

   Рассмотрим треугольник KMN. Он равнобедренный, так как КМ = KN.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит,

   <KMN = <KNM = (180° - <MKN) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Угол OMK = 90°.

   В треугольнике OMK:

   • Угол OKM = <MKN / 2 = 120° / 2 = 60° (так как OK – биссектриса угла MKN).
   • Угол KOM = 180° - 90° - 60° = 30°.
   • OM = 9 см.

   Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике OMK:

   tg(<OKM) = OM / KM

   tg(60°) = 9 / KM

   <3 = 9 / KM

   KM = 9 / <3 = 9<3 / 3 = 3<3 см.

   Так как KM = KN, то KN = 3<3 см.

   Ответ: КМ = KN = 3<3 см.

2. Дано:

   • Ромб ABCD.
   • Диагонали пересекаются в точке О.
   • Окружность с центром А и радиусом ОС.

   Доказать: Прямая BD касается окружности.

   Доказательство:

   Чтобы прямая BD касалась окружности с центром А и радиусом ОС, расстояние от центра окружности (точки А) до прямой BD должно быть равно радиусу (ОС).

   В ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO &perp; BD.

   Расстояние от точки А до прямой BD – это длина отрезка AO (так как AO &perp; BD).

   В ромбе диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит, AO = OC.

   Поскольку расстояние от центра окружности (А) до прямой BD (равное AO) равно радиусу окружности (ОС), то прямая BD касается окружности.

   Что и требовалось доказать.