1 вариант Решить систему уравнений тремя разными способами (графический, подстановка, сложением): 1) {x + 2y = 4, 3x – 4y = 2; 2) {5x - 6y = 7, 10x + 6y = 8; 3) {3x - 5y = 14, 2x - 7y = 2;

Решение:

Предлагаю решить каждую систему методом подстановки и методом сложения. Графический метод требует построения графиков, что удобнее делать на бумаге.

1) Системы уравнений:

\( \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \)

Метод подстановки:

1. Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 4 - 2y \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( 3(4 - 2y) - 4y = 2 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 12 - 6y - 4y = 2 \) \( \implies -10y = 2 - 12 \) \( \implies -10y = -10 \) \( \implies y = 1 \).
4. Найдем \( x \), подставив \( y = 1 \) в выражение для \( x \): \( x = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2 \).

Метод сложения:

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными: \( 2(x + 2y) = 2(4) \) \( \implies 2x + 4y = 8 \).
2. Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы: \( (2x + 4y) + (3x - 4y) = 8 + 2 \) \( \implies 5x = 10 \) \( \implies x = 2 \).
3. Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение системы: \( 2 + 2y = 4 \) \( \implies 2y = 2 \) \( \implies y = 1 \).

Ответ к системе 1: \( x = 2, y = 1 \).

2) Системы уравнений:

\( \begin{cases} 5x - 6y = 7 \\ 10x + 6y = 8 \end{cases} \)

Метод подстановки:

1. Выразим \( 5x \) из первого уравнения: \( 5x = 7 + 6y \) \( \implies x = \frac{7 + 6y}{5} \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( 10(\frac{7 + 6y}{5}) + 6y = 8 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 2(7 + 6y) + 6y = 8 \) \( \implies 14 + 12y + 6y = 8 \) \( \implies 18y = 8 - 14 \) \( \implies 18y = -6 \) \( \implies y = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3} \).
4. Найдем \( x \), подставив \( y = -\frac{1}{3} \) в выражение для \( x \): \( x = \frac{7 + 6(-\frac{1}{3})}{5} = \frac{7 - 2}{5} = \frac{5}{5} = 1 \).

Метод сложения:

1. Сложим первое и второе уравнения системы (коэффициенты при \( y \) уже противоположны): \( (5x - 6y) + (10x + 6y) = 7 + 8 \) \( \implies 15x = 15 \) \( \implies x = 1 \).
2. Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение системы: \( 5(1) - 6y = 7 \) \( \implies 5 - 6y = 7 \) \( \implies -6y = 2 \) \( \implies y = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \).

Ответ к системе 2: \( x = 1, y = -\frac{1}{3} \).

3) Системы уравнений:

\( \begin{cases} 3x - 5y = 14 \\ 2x - 7y = 2 \end{cases} \)

Метод подстановки:

1. Выразим \( 2x \) из второго уравнения: \( 2x = 2 + 7y \) \( \implies x = \frac{2 + 7y}{2} \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 3(\frac{2 + 7y}{2}) - 5y = 14 \).
3. Решим полученное уравнение: \( \frac{6 + 21y}{2} - 5y = 14 \) \( \implies 6 + 21y - 10y = 28 \) \( \implies 11y = 28 - 6 \) \( \implies 11y = 22 \) \( \implies y = 2 \).
4. Найдем \( x \), подставив \( y = 2 \) в выражение для \( x \): \( x = \frac{2 + 7(2)}{2} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

Метод сложения:

1. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными: \( 2(3x - 5y) = 2(14) \) \( \implies 6x - 10y = 28 \) \( -3(2x - 7y) = -3(2) \) \( \implies -6x + 21y = -6 \).
2. Сложим полученные уравнения: \( (6x - 10y) + (-6x + 21y) = 28 + (-6) \) \( \implies 11y = 22 \) \( \implies y = 2 \).
3. Подставим \( y = 2 \) во второе уравнение системы: \( 2x - 7(2) = 2 \) \( \implies 2x - 14 = 2 \) \( \implies 2x = 16 \) \( \implies x = 8 \).

Ответ к системе 3: \( x = 8, y = 2 \).