1. \(|\vec a|=2,\ |\vec b|=1,\ \angle(\vec a,\vec b)=120^\circ\). Найдите угол между векторами \(\vec a-\vec b\) и \(\vec a+2\vec b\).

Обозначим искомый угол через \(\varphi\).

1. Найдём скалярное произведение исходных векторов:
   \[\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos120^\circ=2\cdot1\cdot\left(-\frac12\right)=-1.\]
2. Вычислим скалярное произведение искомых векторов:
   \[(\vec a-\vec b)\cdot(\vec a+2\vec b)=\vec a^{\,2}+\vec a\cdot\vec b-2\vec b^{\,2}=4-1-2=1.\]
3. Найдём их длины:
   \[|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=4+2+1=7,\]
   \[|\vec a+2\vec b|^2=|\vec a|^2+4\vec a\cdot\vec b+4|\vec b|^2=4-4+4=4.\]
4. По формуле скалярного произведения:
   \[\cos\varphi=\frac{(\vec a-\vec b)\cdot(\vec a+2\vec b)}{|\vec a-\vec b|\,|\vec a+2\vec b|}=\frac{1}{\sqrt7\cdot2}=\frac{1}{2\sqrt7}.\]

Ответ: \(\varphi=\arccos\dfrac{1}{2\sqrt7}\approx79.1^\circ\).