1. Вершины четырехугольника имеют координаты P(1; 0), Q(2; 5/3), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

Краткая запись:

• Координаты вершин: P(1; 0), Q(2; 5/3), R(5; 2), S(6; -1)
• Найти: Точку пересечения диагоналей

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем координаты середины диагонали PR. Используем формулу середины отрезка: \( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).
   Для диагонали PR, где P(1; 0) и R(5; 2):
   \( x_M = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
   \( y_M = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
2. Шаг 2: Координаты середины диагонали PR равны (3; 1). Проверим, лежит ли эта точка на диагонали QS. Найдем уравнение прямой, проходящей через Q(2; 5/3) и S(6; -1).
   Угловой коэффициент: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5/3}{6 - 2} = \frac{-8/3}{4} = -2/3 \)
   Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)
   \( y - 5/3 = -2/3(x - 2) \)
   \( y = -2/3 x + 4/3 + 5/3 \)
   \( y = -2/3 x + 9/3 \)
   \( y = -2/3 x + 3 \)
3. Шаг 3: Подставим координаты середины диагонали PR (3; 1) в уравнение прямой QS.
   \( 1 = -2/3(3) + 3 \)
   \( 1 = -2 + 3 \)
   \( 1 = 1 \)
   Точка (3; 1) лежит на диагонали QS. Таким образом, точка пересечения диагоналей — это середина диагонали PR.

Ответ: (3; 1)